前記事の内容を進めます。
まず、前記事の結論を書いておきましょう。
 \right ) = \frac{\delta ^{N}\left ( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0} \right )}{\left |\mathrm{det}\boldsymbol{A} \right | }= \frac{\delta ^{N}\left ( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0} \right )}{\left |\mathrm{det}\left ( \partial f^{\alpha } /\partial x^{\beta }\right ) \right | } "\delta ^{N}\left (\boldsymbol{f} \left (\boldsymbol{x} \right ) \right ) = \frac{\delta ^{N}\left ( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0} \right )}{\left |\mathrm{det}\boldsymbol{A} \right | }= \frac{\delta ^{N}\left ( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_{0} \right )}{\left |\mathrm{det}\left ( \partial f^{\alpha } /\partial x^{\beta }\right ) \right | }")
さて、
= 0 "F\left ( A^{\Lambda } \right )= 0")
のゲージ関数に関する解を
であるとしましょう。ここで前式で N → ∞ とすれば、
 \right ] = \frac{\delta \left [ \Lambda -\Lambda _{0}\right ]}{\left |\mathrm{Det}\left ( \delta F /\delta \Lambda \right ) \right | } "\delta \left [ F\left ( A^{\Lambda } \right ) \right ] = \frac{\delta \left [ \Lambda -\Lambda _{0}\right ]}{\left |\mathrm{Det}\left ( \delta F /\delta \Lambda \right ) \right | }")
が得られます。積分して、
 \right ] = \int \mathcal{D}\Lambda \,\frac{\delta \left [ \Lambda -\Lambda _{0}\right ]}{\left |\mathrm{Det}\left ( \delta F /\delta \Lambda \right ) \right | } "\int \mathcal{D}\Lambda \, \delta \left [ F\left ( A^{\Lambda } \right ) \right ] = \int \mathcal{D}\Lambda \,\frac{\delta \left [ \Lambda -\Lambda _{0}\right ]}{\left |\mathrm{Det}\left ( \delta F /\delta \Lambda \right ) \right | }")
 \right | } \int \mathcal{D}\Lambda \, \delta \left [ \Lambda -\Lambda _{0}\right ]=\frac{1}{\left |\mathrm{Det}\left ( \delta F /\delta \Lambda \right ) \right | } "=\frac{1}{\left |\mathrm{Det}\left ( \delta F /\delta \Lambda \right ) \right | } \int \mathcal{D}\Lambda \, \delta \left [ \Lambda -\Lambda _{0}\right ]=\frac{1}{\left |\mathrm{Det}\left ( \delta F /\delta \Lambda \right ) \right | }")
から（ＦＰ行列式を積分の前に出していいのか？少し疑問がありますが）、
}{\delta \Lambda }\right ) \right |\int \mathcal{D}\Lambda \, \delta \left [ F\left ( A^{\Lambda } \right ) \right ] =1 "\left |\mathrm{Det}\left ( \frac{\delta F\left ( A^{\Lambda } \right )}{\delta \Lambda }\right ) \right |\int \mathcal{D}\Lambda \, \delta \left [ F\left ( A^{\Lambda } \right ) \right ] =1")
が出てきます。
また、ゲージ変換
\rightarrow A_{\mu }^{\Lambda }\left ( x \right )= A_{\mu }\left ( x \right )+\partial _{\mu }\Lambda\left ( x \right ) "A_{\mu }\left ( x \right )\rightarrow A_{\mu }^{\Lambda }\left ( x \right )= A_{\mu }\left ( x \right )+\partial _{\mu }\Lambda\left ( x \right )")
から、
}{\delta \Lambda \left ( y \right )}= \partial _{\mu }^{x}\delta ^{4}\left ( x-y \right ) "\frac{\delta A_{\mu }^{\Lambda }\left ( x \right )}{\delta \Lambda \left ( y \right )}= \partial _{\mu }^{x}\delta ^{4}\left ( x-y \right )")
なので、
 \right )}{\delta \Lambda \left ( y \right )} = \frac{\delta F\left ( A_{\mu }\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left ( z \right )} \,\partial _{\mu }^{z} \delta ^{4}\left ( z-y \right ) "\frac{\delta F\left ( A_{\mu }^{\Lambda }\left ( x \right ) \right )}{\delta \Lambda \left ( y \right )} = \frac{\delta F\left ( A_{\mu }\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left ( z \right )} \,\partial _{\mu }^{z} \delta ^{4}\left ( z-y \right )")
です。部分積分を意識すると、
 \right )}{\delta A_{\mu }\left ( z \right )} \,\partial _{\mu }^{z} \delta ^{4}\left ( z-y \right )= -\partial _{\mu }^{y}\frac{\delta F\left ( A\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left (y \right )} "\frac{\delta F\left ( A_{\mu }\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left ( z \right )} \,\partial _{\mu }^{z} \delta ^{4}\left ( z-y \right )= -\partial _{\mu }^{y}\frac{\delta F\left ( A\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left (y \right )}")
となり（う～ん、ちょっと説明が上手くいかない、、）、
 \right )}{\delta \Lambda \left ( y \right )} = -\partial _{\mu }^{y}\frac{\delta F\left ( A\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left (y \right )} "\frac{\delta F\left ( A_{\mu }^{\Lambda }\left ( x \right ) \right )}{\delta \Lambda \left ( y \right )} = -\partial _{\mu }^{y}\frac{\delta F\left ( A\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left (y \right )}")
なので、両辺の行列をとると、
}{\delta \Lambda } \right )= \mathrm{Det}\left ( -\partial _{\mu }\frac{\delta F \left ( A \right )}{\delta A_{\mu }} \right ) "\mathrm{Det}\left ( \frac{\delta F\left ( A \right )}{\delta \Lambda } \right )= \mathrm{Det}\left ( -\partial _{\mu }\frac{\delta F \left ( A \right )}{\delta A_{\mu }} \right )")
より、
}{\delta A_{\mu }} \right ) \right |\int \mathcal{D}\Lambda \, \delta \left [ F\left ( A^{\Lambda } \right ) \right ]= 1 "\left | \mathrm{Det}\left ( -\partial _{\mu }\frac{\delta F \left ( A \right )}{\delta A_{\mu }} \right ) \right |\int \mathcal{D}\Lambda \, \delta \left [ F\left ( A^{\Lambda } \right ) \right ]= 1")
が出てきます。
さて、
から、これはデルタ関数から
のみによるので、
と置き換えても、
 \right ] = \frac{\delta \left [ {\Lambda }'-\Lambda _{0}\right ]}{\left |\mathrm{Det}\left ( \delta F /\delta {\Lambda }'\right ) \right | } = \frac{\delta \left [\Lambda -\Lambda _{0}\right ]}{\left |\mathrm{Det}\left ( \delta F /\delta \Lambda \right ) \right | } "\delta \left [ F\left ( A^{{\Lambda }'} \right ) \right ] = \frac{\delta \left [ {\Lambda }'-\Lambda _{0}\right ]}{\left |\mathrm{Det}\left ( \delta F /\delta {\Lambda }'\right ) \right | } = \frac{\delta \left [\Lambda -\Lambda _{0}\right ]}{\left |\mathrm{Det}\left ( \delta F /\delta \Lambda \right ) \right | }")
と変わらないので、
}{\delta \Lambda } \right )= \mathrm{Det}\left ( \frac{\delta F\left ( A^{{\Lambda }'} \right )}{\delta {\Lambda }'} \right ) "\mathrm{Det}\left ( \frac{\delta F\left ( A^{\Lambda } \right )}{\delta \Lambda } \right )= \mathrm{Det}\left ( \frac{\delta F\left ( A^{{\Lambda }'} \right )}{\delta {\Lambda }'} \right )")
ということになります。
この記事へのコメント
記事の中間あたりの、
>です。部分積分を意識すると、
の前の式の右辺（次の式の左辺も）は、z積分を省略しているのですか？
それとも、単なる書き忘れでしょうか？
と言っているのは、私もよく説明が出来ないという意味です。
Det と det の違いも明確でないのですが、そこで積分の演算が為されているのかも知れません。
積分記号が省略しているのは、柏太郎「演習 場の量子論」サイエンス社 の記述の通りです。
入力ミスではありません。
>（う～ん、ちょっと説明が上手くいかない、、）、
>と言っているのは、私もよく説明が出来ないという意味です。
わかりました。
>Det と det の違いも明確でないのですが、そこで積分の演算が為されているのかも知れません。
「演習 場の量子論」が手元にないのでわかりませんが、
Detは汎関数行列式で、detは普通の行列式ではないでしょうか？
いずれにしろ、その違いは今取り上げている式とは関係ないと思います。
それから、今気付いたのですが、この記事の一番最初の式の
最右辺の分母のdetの中身は∂f/∂fではなく、∂f/∂xですよね？
>積分記号が省略しているのは、柏太郎「演習 場の量子論」サイエンス社 の記述の通りです。
>入力ミスではありません。
なるほど。省略でしたか。
個人的には、省略せずに書いたほうが分かりやすくて
いい気がしますが。
（もちろん、そのように書きなおせと強要するつもりはありません。
単に自身の感想を述べただけです。）
確かにこれは入力ミスです。
ご指摘ありがとうございました。
＞個人的には、省略せずに書いたほうが分かりやすくていい気がしますが。
そういうことを言われるのは気分が良くないんですよ。。
間接的に批判しているか？上から目線なのか？と勘繰ります。
私個人の勉強の備忘録という感じで書いているので、他人様には分かり難いかも知れませんが、それで良しとしています。
ｚでの積分を省略してあることは本文中にも注意書きがしてありますし、
アインシュタインの規約で繰り返しの添え字は和を取るのと同じルールで、
（ここでｘやｙやｚは連続添え字の行列の添え字ですから）
繰り返しの変数は和を取るということになっています。
部分積分というのは結局、f'g = -fg'という置き換えをするわけですから、
（fgは境界あるいは無限遠で0になるという仮定のもとで）
()∂_μ δ(z-y) = -∂_μ() δ(z-y)
で、z積分をしたらδ関数があるから、zをyに入れ替えた式になるよ、ってことだと思います。
この本で勉強するのは最初は大変だと思いますが、
CPT対称性や繰り込み・ファインマングラフの計算などを
コンパクトに学べるいい本だと、
ほかの教科書なども読み漁ったあとになって思いました。
自分も何度も放り出したのですが、いま解きなおして5章をやっていたところなので、
コメントさせていただきました。
お互いがんばりましょう。
ただ、この本は、具体的な散乱や崩壊の確率計算みたいな話がないので、
その辺、少々つまらない気がします。
そこはあもんさんのサイトで補うってことで（笑）
最近はブログは段々と下火になっているような気がしています。ツイッターやインスタのSNSが主流なのでしょうね。でも数式で物理を語るにはブログ程度の情報量が無いと無理なので、これからも続けていく所存です。基本的には私自身の勉強ノートのようなものなので、分かり難い内容もあると思いますが、それでもここに訪れていただけるだけで幸せです。