ゲージ場の量子化(2-2)

前記事の内容を進めます。
まず、前記事の結論を書いておきましょう。



さて、 のゲージ関数に関する解を であるとしましょう。ここで前式で N → ∞ とすれば、



が得られます。積分して、





から(FP行列式を積分の前に出していいのか?少し疑問がありますが)、



が出てきます。
また、ゲージ変換



から、



なので、



です。部分積分を意識すると、



となり(う~ん、ちょっと説明が上手くいかない、、)、



なので、両辺の行列をとると、



より、



が出てきます。


さて、



から、これはデルタ関数から のみによるので、 と置き換えても、



と変わらないので、



ということになります。



ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!

ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。

→ログインへ

なるほど(納得、参考になった、ヘー)
驚いた
面白い
ナイス
ガッツ(がんばれ!)
かわいい

気持玉数 : 0

この記事へのコメント

冷蔵庫
2012年02月15日 17:08
こんにちは。冷蔵庫です。
記事の中間あたりの、

>です。部分積分を意識すると、

の前の式の右辺(次の式の左辺も)は、z積分を省略しているのですか?
それとも、単なる書き忘れでしょうか?
T_NAKA
2012年02月16日 13:16
(う~ん、ちょっと説明が上手くいかない、、)、
と言っているのは、私もよく説明が出来ないという意味です。
Det と det の違いも明確でないのですが、そこで積分の演算が為されているのかも知れません。
積分記号が省略しているのは、柏太郎「演習 場の量子論」サイエンス社 の記述の通りです。
入力ミスではありません。

冷蔵庫
2012年02月16日 23:37
回答ありがとうございます。

>(う~ん、ちょっと説明が上手くいかない、、)、
>と言っているのは、私もよく説明が出来ないという意味です。

わかりました。

>Det と det の違いも明確でないのですが、そこで積分の演算が為されているのかも知れません。

「演習 場の量子論」が手元にないのでわかりませんが、
Detは汎関数行列式で、detは普通の行列式ではないでしょうか?
いずれにしろ、その違いは今取り上げている式とは関係ないと思います。

それから、今気付いたのですが、この記事の一番最初の式の
最右辺の分母のdetの中身は∂f/∂fではなく、∂f/∂xですよね?

>積分記号が省略しているのは、柏太郎「演習 場の量子論」サイエンス社 の記述の通りです。
>入力ミスではありません。

なるほど。省略でしたか。
個人的には、省略せずに書いたほうが分かりやすくて
いい気がしますが。
(もちろん、そのように書きなおせと強要するつもりはありません。
単に自身の感想を述べただけです。)
T_NAKA
2012年02月17日 00:22
>最右辺の分母のdetの中身は∂f/∂fではなく、∂f/∂xですよね?

確かにこれは入力ミスです。
ご指摘ありがとうございました。

>個人的には、省略せずに書いたほうが分かりやすくていい気がしますが。

そういうことを言われるのは気分が良くないんですよ。。
間接的に批判しているか?上から目線なのか?と勘繰ります。
私個人の勉強の備忘録という感じで書いているので、他人様には分かり難いかも知れませんが、それで良しとしています。
サンマヤ
2012年02月19日 00:16
横から失礼しますが、
zでの積分を省略してあることは本文中にも注意書きがしてありますし、
アインシュタインの規約で繰り返しの添え字は和を取るのと同じルールで、
(ここでxやyやzは連続添え字の行列の添え字ですから)
繰り返しの変数は和を取るということになっています。
部分積分というのは結局、f'g = -fg'という置き換えをするわけですから、
(fgは境界あるいは無限遠で0になるという仮定のもとで)
()∂_μ δ(z-y) = -∂_μ() δ(z-y)
で、z積分をしたらδ関数があるから、zをyに入れ替えた式になるよ、ってことだと思います。
この本で勉強するのは最初は大変だと思いますが、
CPT対称性や繰り込み・ファインマングラフの計算などを
コンパクトに学べるいい本だと、
ほかの教科書なども読み漁ったあとになって思いました。
自分も何度も放り出したのですが、いま解きなおして5章をやっていたところなので、
コメントさせていただきました。
お互いがんばりましょう。
ただ、この本は、具体的な散乱や崩壊の確率計算みたいな話がないので、
その辺、少々つまらない気がします。
そこはあもんさんのサイトで補うってことで(笑)
T_NAKA
2012年02月19日 12:46
この本の積分記号の省略がかなり任意な気がして、ときどき迷ってしまうときがあるんですね。経路積分をやっているときどうも分からなくなってしまったんで、飛ばしてしまった経緯があります。一通りこの本をさらったら、経路積分を使わない 日置善郎「場の量子論」吉岡書店 を勉強して、また経路積分をおさらいしようと思います。あもんさんによれば、経路積分を使うと使わないとでは、解析力学を使うか使わないかで初等力学を学ぶとき難易度の相対差と同じ位だとのことです。ハイゼンベルグ描像のみを通したいならば、どうしても経路積分が必要ですが、シュレディンガー描像や相互作用描像も併用するなら無くても良いとのこと。今は「ヒッグス機構」まで進んでいるんですが、これがけっこう面白いです。
tokis
2018年11月20日 15:19
華やかなスポーツ選手やお金持ちだけがもてはやされるこの時代に少数とは言え物理学や数学を扱い議論する人たちがいるのは私にとって嬉しいことです.コメントの年からすでに6年経過してこのブログを見ている今現在もそのような希少な人々がいることを信じたいものです.T_NAKAさんのブログで勇気づけられている人もいることでしょう.金も力もないけど物理や数学をこの世で最も美しく価値あるものだと思い勉強したい奇特な人に,私も力になれるようなブログを書きたいと思っています.ただ,自分自身お金も力もなく,PCの知識もあまりない人間にはブログをつくるなど無謀なことかもしれませんね.(ブログの1ファンのコメントでした.)
T_NAKA
2018年11月21日 20:30
tokisさん、コメントありがとうございます。
最近はブログは段々と下火になっているような気がしています。ツイッターやインスタのSNSが主流なのでしょうね。でも数式で物理を語るにはブログ程度の情報量が無いと無理なので、これからも続けていく所存です。基本的には私自身の勉強ノートのようなものなので、分かり難い内容もあると思いますが、それでもここに訪れていただけるだけで幸せです。

この記事へのトラックバック