ゲージ場の量子化(2-1)

次の例題に行きます。

[例題]==============================
クーロンゲージ条件



およびローレンスゲージ条件



で、左辺のゲージ場に依る量をゲージ固定項と呼び F(A) と書くことにしよう。さらにゲージ場を AΛ と書く。
このとき、ゲージ関数Λに関する恒等式






が成立することを示せ。ただし、



は、デルタ汎関数である。次に、ファディーフ―ポポフ行列式Faddeev-Popov(FP)行列式)とよばれる関数行列式はΛに依らず、ゲージ不変



であることを示せ。
====================================

これは手ごわいので、模範解答を私なりになぞるという形式になりますが、ご容赦の程。。

まず、デルタ関数の性質( f(x) = 0 にいくつかのゼロ点 x = αi があるとき )



http://teenaka.at.webry.info/201104/article_12.html を参照)

のN次元版を考えることにします。

 をN次元ベクトル、 の解を とします(いま解は1つとしましょう)。
の周りで展開します。



となり、Aβα(x0) を行列 A で表すと、



となるでしょう。
一方、N次元のデルタ関数はガウス関数を用いると、



と書けるので、





となりますが、直交変換



を施すことを考えます。
逆変換は



なので、





となり、 を上手く選べば、 を対角化できるでしょう。つまり、

 

であり、






です。
よって、








ですが、新しい無限小量  を導入すると、



となります。ここで 固有値を前の出せたので、再び  に戻して





としましょう。
ここで、





から、






という結果が得られました。

今日はこの辺で。。


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