計量テンソル行列式関係(1)

計量テンソル行列式(g)のことはサラっとやっただけで、あまり勉強してなかったなぁ~っと、思って「一般相対論入門」(須藤靖著・日本評論社)と「もうひとつの一般相対論入門」(須藤靖著・日本評論社)を読んで考えてみました。

まず今回は「なぜ g < 0 なのか?」ということを考えてみます。
計量テンソル gαβ の座標変換は(テンソルなので)



となります。
アインシュタイン規約を使わないとすると、









と書けます。つまり2次形式になるということですね。これは行列を使って、



と表現できます。ここで、



と定義すると、完全に行列表現できて



となるでしょう。

さて、各所で局所的にミンコフスキー的な座標系に変換できるので、



とすることが出来ます。
(ここで、変換後の変数にプライムを付けるという表現が良いのか、添え字にプライムを付ける表現が良いのか、悩むところです。。)
よって、




であり、



から、行列式をとると、



となり、



つまり、 g < 0 が言えることになります。
(ここで使っている Tex は不等号"<"">"が使えないので、数式中は "≦" 等で表現していることに留意願います。)

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