計量テンソル行列式関係（１）

まず今回は「なぜ g ＜ 0 なのか？」ということを考えてみます。

${g}'_{\mu \nu }= \frac{\partial x^{\alpha }}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{\beta }}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{\alpha \beta }$

となります。
アインシュタイン規約を使わないとすると、

${g}'_{\mu \nu }= \frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{00} +\frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{01}+\frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{02}+\frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{03}$

$+\frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{10} +\frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{11}+\frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{12}+\frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{13}$

$+\frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{20} +\frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{21}+\frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{22}+\frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{23}$

$+\frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{30} +\frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{31}+\frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{32}+\frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{33}$

と書けます。つまり２次形式になるということですね。これは行列を使って、

${g}'_{\mu \nu }=\begin{bmatrix} \frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{\mu }} & \frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{\mu }} & \frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{\mu }} & \frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{\mu }} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03}\\ g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13}\\ g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23}\\ g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{\nu }}\\ \frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{\nu }}\\ \frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{\nu }}\\ \frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{\nu }} \end{bmatrix}$

と表現できます。ここで、

$\left [ \frac{\partial x}{\partial {x}'} \right ] \equiv \begin{bmatrix} \frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{0 }} & \frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{0}} & \frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{0}} & \frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{0}} \\ \frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{1 }} & \frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{1}} & \frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{1}} & \frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{1}} \\ \frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{2 }} & \frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{2}} & \frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{2}} & \frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{2}} \\ \frac{\partial x^{0}}{\partial {x}'^{3 }} & \frac{\partial x^{1}}{\partial {x}'^{3}} & \frac{\partial x^{2}}{\partial {x}'^{3}} & \frac{\partial x^{3}}{\partial {x}'^{3}} \end{bmatrix}$

と定義すると、完全に行列表現できて

$\left [ {g}'_{\mu \nu } \right ]= \left [ \frac{\partial x}{\partial {x}'} \right ]\left [ g_{\alpha \beta } \right ]\left [ \frac{\partial x}{\partial {x}'} \right ]^{T}$

となるでしょう。

さて、各所で局所的にミンコフスキー的な座標系に変換できるので、

$\eta _{\mu \nu }= \frac{\partial x^{\alpha }}{\partial {x}'^{\mu }}\frac{\partial x^{\beta }}{\partial {x}'^{\nu }}\: g_{\alpha \beta }$

とすることが出来ます。
（ここで、変換後の変数にプライムを付けるという表現が良いのか、添え字にプライムを付ける表現が良いのか、悩むところです。。）
よって、

$\left [ \eta _{\mu \nu } \right ]= \left [ \frac{\partial x}{\partial {x}'} \right ]\left [ g_{\alpha \beta } \right ]\left [ \frac{\partial x}{\partial {x}'} \right ]^{T}$

であり、

$det\left [ \eta _{\mu \nu } \right ]= -1\; ,\; \; g\equiv det\left [ g_{\alpha \beta } \right ]\; ,\; \;det\left [ \frac{\partial x}{\partial {x}'} \right ]=det\left [ \frac{\partial x}{\partial {x}'} \right ]^{T}$

から、行列式をとると、

$-1=g \;\left ( det\left [ \frac{\partial x}{\partial {x}'} \right ] \right )^{2}$

となり、

$\left ( det\left [ \frac{\partial x}{\partial {x}'} \right ] \right )^{2} \geq 0\;\; \rightarrow \; \; g\leq 0$

つまり、 g ＜ 0 が言えることになります。
（ここで使っている Tex は不等号"＜""＞"が使えないので、数式中は "≦" 等で表現していることに留意願います。）

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