練習問題（５）_ゲージ原理とゲージ場
練習問題の最後になります。アハラノフ―ボーム効果の最終的説明ですね。ＡＢ効果（その四）
[練習問題１．５]====================
ＡＢ効果（その四）、
もとめるファインマン核は、すべての可能な経路を足し上げたものだから、前問でもとめた
K[n]( xf(n), xi ; T) を用いて、
= \sum_{n=-\infty }^{\infty }K^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}, \boldsymbol{x}_{i};T \right ) "K\left ( \boldsymbol{x}_{f}, \boldsymbol{x}_{i};T \right )= \sum_{n=-\infty }^{\infty }K^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}, \boldsymbol{x}_{i};T \right )")
となる。これが、
= \mathrm{e}^{i\alpha \left ( \phi _{f} -\phi _{i} \right )}\sum_{n=-\infty }^{\infty }\mathrm{e}^{i2\pi n\alpha }K_{\left ( 0 \right )}^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}, \boldsymbol{x}_{i};T \right ) "K\left ( \boldsymbol{x}_{f}, \boldsymbol{x}_{i};T \right )= \mathrm{e}^{i\alpha \left ( \phi _{f} -\phi _{i} \right )}\sum_{n=-\infty }^{\infty }\mathrm{e}^{i2\pi n\alpha }K_{\left ( 0 \right )}^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}, \boldsymbol{x}_{i};T \right )")
}^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )},\boldsymbol{x}_{i};T \right )\equiv \int \mathcal{D}\boldsymbol{x}\: \exp \left [ \frac{i}{\hbar}\int_{0}^{T}dt\left ( \frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{x}}^{2}-V\left ( \boldsymbol{x} \right ) \right ) \right ]\Bigg|_{\boldsymbol{x}\left ( 0 \right )= \boldsymbol{x}_{i}}^{\boldsymbol{x}\left ( T \right )= \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}} "K_{\left ( 0 \right )}^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )},\boldsymbol{x}_{i};T \right )\equiv \int \mathcal{D}\boldsymbol{x}\: \exp \left [ \frac{i}{\hbar}\int_{0}^{T}dt\left ( \frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{x}}^{2}-V\left ( \boldsymbol{x} \right ) \right ) \right ]\Bigg|_{\boldsymbol{x}\left ( 0 \right )= \boldsymbol{x}_{i}}^{\boldsymbol{x}\left ( T \right )= \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}}")
と書けることを示せ。
（ K(0)[n]( xf(n), xi ; T) はベクトルポテンシャルのない場合のファインマン核である）
これより、磁場はなくても粒子はベクトルポテンシャルの影響を受けることがわかる。これをアハラノフ―ボーム効果という。
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前問の結果、
},\boldsymbol{x}_{i};T \right ) "K^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )},\boldsymbol{x}_{i};T \right )")
 \right ) +e\int_{\boldsymbol{x}_{i}}^{\boldsymbol{x}_{f}}d\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{A}\left (\boldsymbol{x}\right )\right \}\right ]\Bigg|_{\boldsymbol{x}\left ( 0 \right )=\boldsymbol{x}_{i}}^{\boldsymbol{x}\left ( T \right )= \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}} "= \int \mathcal{D}\boldsymbol{x}\: \exp \left [ \frac{i}{\hbar}\left \{ \int_{0}^{T}dt \left ( \frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{x}}^{2} -V\left (\boldsymbol{x} \right ) \right ) +e\int_{\boldsymbol{x}_{i}}^{\boldsymbol{x}_{f}}d\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{A}\left (\boldsymbol{x}\right )\right \}\right ]\Bigg|_{\boldsymbol{x}\left ( 0 \right )=\boldsymbol{x}_{i}}^{\boldsymbol{x}\left ( T \right )= \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}}")
において、最後の項について考えます。いまは n 回まわってφf に辿りついているから、
}} d\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{A} = i\frac{e\Phi }{2\pi \hbar}\left ( \phi _{f}+2n\pi -\phi _{i} \right ) = i\alpha \left ( \phi _{f}+2n\pi -\phi _{i} \right ) "\frac{ie}{\hbar}\int_{\boldsymbol{x}_{i}}^{\boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}} d\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{A} = i\frac{e\Phi }{2\pi \hbar}\left ( \phi _{f}+2n\pi -\phi _{i} \right ) = i\alpha \left ( \phi _{f}+2n\pi -\phi _{i} \right )")
 +i2n\alpha \pi "= i\alpha \left ( \phi _{f} -\phi _{i} \right ) +i2n\alpha \pi")
となるでしょう。
磁場に依らない残った項も、ポテンシャルＶのための円筒内に粒子が入れないようになっている（空間に穴が開いていることと同様）から、周回数 n に依ると考えられます。
},\boldsymbol{x}_ {i};T \right )= e^{i\alpha \left ( \phi _{f} -\phi _{i} \right )}e^{i2n\alpha \pi}\int \mathcal{D}\boldsymbol{x}\: \exp \left [ \frac{i}{\hbar}\int_{0}^{T}dt \left ( \frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{x}}^{2} -V\left ( \boldsymbol{x} \right ) \right )\right ]\Bigg|_{\boldsymbol{x}\left ( 0 \right ) =\boldsymbol{x}_{i}}^{\boldsymbol{x}\left ( T \right )= \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}} "K^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )},\boldsymbol{x}_ {i};T \right )= e^{i\alpha \left ( \phi _{f} -\phi _{i} \right )}e^{i2n\alpha \pi}\int \mathcal{D}\boldsymbol{x}\: \exp \left [ \frac{i}{\hbar}\int_{0}^{T}dt \left ( \frac{m}{2}\dot{\boldsymbol{x}}^{2} -V\left ( \boldsymbol{x} \right ) \right )\right ]\Bigg|_{\boldsymbol{x}\left ( 0 \right ) =\boldsymbol{x}_{i}}^{\boldsymbol{x}\left ( T \right )= \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}}")
}e^{i2n\alpha \pi}K_{\left ( 0 \right )}^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )},\boldsymbol{x}_ {i};T \right ) "= e^{i\alpha \left ( \phi _{f} -\phi _{i} \right )}e^{i2n\alpha \pi}K_{\left ( 0 \right )}^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )},\boldsymbol{x}_ {i};T \right )")
から、
= \sum_{n=-\infty }^{\infty }K^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}, \boldsymbol{x}_{i};T \right ) = \mathrm{e}^{i\alpha \left ( \phi _{f} -\phi _{i} \right )}\sum_{n=-\infty }^{\infty }\mathrm{e}^{i2\pi n\alpha }K_{\left ( 0 \right )}^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}, \boldsymbol{x}_{i};T \right ) "K\left ( \boldsymbol{x}_{f}, \boldsymbol{x}_{i};T \right )= \sum_{n=-\infty }^{\infty }K^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}, \boldsymbol{x}_{i};T \right ) = \mathrm{e}^{i\alpha \left ( \phi _{f} -\phi _{i} \right )}\sum_{n=-\infty }^{\infty }\mathrm{e}^{i2\pi n\alpha }K_{\left ( 0 \right )}^{\left [ n \right ]}\left ( \boldsymbol{x}_{f}^{\left ( n \right )}, \boldsymbol{x}_{i};T \right )")
となります。
つまりここでいうαが出てきてしまうため、磁場の無いところでもベクトルポテンシャルの影響が現われるということでしょうか？
[練習問題１．５]====================
ＡＢ効果（その四）、
もとめるファインマン核は、すべての可能な経路を足し上げたものだから、前問でもとめた
K[n]( xf(n), xi ; T) を用いて、
となる。これが、
と書けることを示せ。
（ K(0)[n]( xf(n), xi ; T) はベクトルポテンシャルのない場合のファインマン核である）
これより、磁場はなくても粒子はベクトルポテンシャルの影響を受けることがわかる。これをアハラノフ―ボーム効果という。
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前問の結果、
において、最後の項について考えます。いまは n 回まわってφf に辿りついているから、
となるでしょう。
磁場に依らない残った項も、ポテンシャルＶのための円筒内に粒子が入れないようになっている（空間に穴が開いていることと同様）から、周回数 n に依ると考えられます。
から、
となります。
つまりここでいうαが出てきてしまうため、磁場の無いところでもベクトルポテンシャルの影響が現われるということでしょうか？
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