ゲージ原理とゲージ場(6)

次の例題に行きます。
N 成分複素スカラー場の Lagrangian を考える問題です。一応模範解答のストーリーで書きますが、どうもスッキリしません。
いま話題のヒッグス機構に繋がる話なので、これではちょっといけないのですがね。。

[例題]==============================
N 成分複素スカラー場



の Lagrangian



(V はポテンシャル)にゲージ原理を適用すると、





となることを示せ。
====================================

「ゲージ原理とゲージ場(4-1)」http://teenaka.at.webry.info/201112/article_12.html と同様にこの問題の初めに書いた Lagrangian



は U(N) ユニタリー変換 U


 
で不変です。よってゲージ原理にしたがって局所変換 U(x) を導入します。つまり、



です。また先と同様の議論で共変微分は



です。ここでスカラー場は、ディラック場と同様に SU(N) の基本表現に属するので、Aμ = AaμTa の Ta は N×N 行列になります。
ここで 「ゲージ原理とゲージ場(4-5)」に示すように共変微分のゲージ不変性により、



と変換されます。
つまり、



と、



から、問題文にある式は、



とゲージ不変性が保証されます。

さて、



という共変微分の具体形から、



つまり、



なので、







から、



となります。
ただし、問題文と同じ表現にするには、



としなければなりません。
これについては、ちょっと分からない。。。




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