練習問題(1-2)_ 経路積分入門 [追記あり]

練習問題1の(b)に移りますが、どうも良く分からないところがあるのです。
問題文中で説明されている内容もちょっと理解できないところがあるので厄介ですね。
ここは、模範解答を私なりに辿ってみて、疑問な点をあげておきましょう。(この点につき、TOSHIさんとあもんさんからコメントをいただき、それを追記いたしました。)

まず、ベーカーキャンベルハウスドルフ (Baker–Campbell–Hausdorff) の公式というのが出てきます。具体的には、



 [A,B] =(C-数)

です。この証明は簡単なのかと思いましたが、リー群が絡むので難しいようで、理解は断念しました。
(簡単な証明は次にあるようで、参考まで。)
"A new proof of the Baker-Campbell-Hausdorff formula"
http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.jmsj/1260463291
[追記1]=========================================
TOSHIさんのコメントより、

「TOSHIの宇宙:量子力学の交換関係の問題(その2)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/10/post_ada9.html

を読んで理解しました。TOSHIさんの記事から、



なので、両辺に を掛ければ、該当のベーカー–キャンベル–ハウスドルフ (Baker–Campbell–Hausdorff) の公式が導出されます。
TOSHIさん、コメントありがとうございました。本当に助かります。
=================================================

さて、





から、ベーカー–キャンベル–ハウスドルフの公式を使うと、

  (4)

ということになりますが、これと(2)式を用いて、E の対応する C-数関数を計算します。



ここで、右辺に(4)の上の式を適用すると、



です。
ここで、









なので、





となります。ところで、



という性質があります。(これがちょっと分からないのです。運動量表示をすると、 となるような気がします。。)
[追記2]=========================================
あもんさんのコメントより、




なので、



つまり、



です。両辺に を作用させると、




なので、



であり、



なら、



となり、辻褄が合いますね。

あもんさん、ご教示ありがとうございました。これで、スッキリしました。
=================================================


これから、







となります。よって、





です。ここから、







ですが、(4)式の上下と見比べると、

α= 1/2



   PQ 順序

α= 0  ;

     Weyl 順序

α= -1/2 ; 



   QP 順序

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この記事へのコメント

TOSHI
2011年05月26日 20:03
 どもTOSHIです。ご自分でお考えなのに大きなお世話でしょうが,公式は「TOSHIの宇宙」の2006年10/7「量子力学の交換関係の問題(その2)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/10/post_ada9.html に書いたのと同じです。本文には書いていませんが解答の種本は砂川重信「量子力学」(岩波)の演習問題の本の最後にあった解答をカンニングです。 TOSHI
あもん
2011年05月27日 05:07
お久しぶりです。
BCH公式ですが、まず exp(A)B=(B+[A,B])exp(A) …(1) が単純に exp(A) をテイラー展開すれば確かめられます。f(x)=exp(xA)exp(xB) を微分して(1)を用いると f'(x)=(A+B+x[A,B])f(x) を得ます。変数分離型ですから積分できて整理すると記事のBCH公式になります。(昔TOSHIさんに教わった)
あと、exp(ibQ)|p> を運動量表示すると、exp(-b∂/∂p')δ(p'-p)=δ(p'-p-b) であることに注意。これは運動量が (p+b) の固有関数です。
あもん
2011年05月27日 05:08
あ、TOSHIさんがコメントしてたんですね。おひさです。
あもん
2011年05月27日 05:31
ちなみに後者の問題、代数的には(1)と正準交換関係 [Q,P]=i から、[P,exp(ibQ)]=bexp(ibQ)…(2) がわかるので、「演算子 exp(ibQ) は P の固有値を b だけ増やす」というわけです。実際(2)の両辺を |p> に作用させると、Pexp(ibQ)|p>=(p+b)exp(ibQ)|p> を得るので、ベクトル exp(ibQ)|p> は演算子 P の固有値 (p+b) の固有ベクトルです。
TOSHI
2011年05月27日 06:25
 どもTOSHIです。

 T_NAKAさんのところで申し訳ないですが,
 あもんさん。。。お久しぶりです。お元気ですか?
                    TOSHI
明男
2011年05月27日 06:52
こんにちは。
exp(ibQ)がポンカレ群の(+方向)並進演算子ですから、くだんの結果だろうとは思ったのですが、一知半解の知識なのでもんもんとしてました^^;)。まあ、平面波展開すれば、expの肩が(座標と運動量では)逆符号なので直観的にはいいのですが、あもんさんのように考えればいいわけですね。個人的はすっきりしました。しかし、やはりリー群は大切ですね。
あもん
2011年05月27日 11:34
>TOSHIさん
まあまあ元気です。TOSHIさんのコメントに全然気が付かずにコメント書いてたよ。すぐ上にTOSHIさんの文章があったはずなのにw
T_NAKA
2011年05月27日 17:35
いままでPCを操作できない環境にあったので、皆様の貴重なコメントを拝見していませんでした。疑問点を分かったふりをせずに、明らかにしておいてよかったと思います。
ここは良く理解した上で、記事に追記していきたいと思います。ありがとうございました。

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