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zoom RSS 場の解析力学(1)

<<   作成日時 : 2010/10/28 00:01   >>

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これも何度も取り上げているのですが、「演習 場の量子論 _ 基礎から学びたい人のために」(柏太郎著・潟Tイエンス社)を読み進めていくためには避けて通れないので、ここから始めることにします。

[例題]=============================================
φ(x) をいろいろな場、たとえば、スカラー場 φ(x) 、スピノール場 ψ(x) 、ベクトル場 Aμ(x) などの総称としよう。
さらに、その微分を



と書き、Lagrangian 密度を



と書く。なお普通の意味での Lagrangian



で与えられる。さらに作用を、



と書くとき(Ωは任意の積分領域)、場のオイラーラグランジュ(Euler-Lagrange)方程式が、



で与えられることを示せ。
===================================================

古典解析力学では、自由度 f 個の力学系は



で特徴づけられ、運動方程式は f 個の Euler-Lagrange の方程式







となることはよく知られていますね。

「場」になると、無限自由度なので、無限個の Euler-Lagrange の方程式になることになってしまいます。
そこで、Lagrangian ではなく、Lagrangian 密度を使うことにして、一つの方程式にしているのでしょう。
さらに、古典力学では(一般化ではありますが)座標は質点の位置を示し、「時間」はパラメータですが、今回は時間も座標として扱います。
また、μに関して、アインシュタインの縮約ルールを使っていることを留意願います。

さて、例題の分析を始めましょう。


場の変分を



と書き、



としましょう。∂Ωは積分の境界を示します。
ここで、作用 I が不変とすると、 δI = 0 から、












Ωが任意であったので、それを無限小の領域刄カとすると、上式から、



であり、刄カ≠ 0 , δφ≠ 0 なので、



が得られます。

今日はこの辺で。。


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