場の解析力学（１）: T_NAKAの阿房ブログ

場の解析力学（１）

2010年10月28日

これも何度も取り上げているのですが、「演習場の量子論 _ 基礎から学びたい人のために」（柏太郎著・㈱サイエンス社）を読み進めていくためには避けて通れないので、ここから始めることにします。

[例題]=============================================
φ(x) をいろいろな場、たとえば、スカラー場 φ(x) 、スピノール場 ψ(x) 、ベクトル場 A^μ(x) などの総称としよう。
さらに、その微分を

$\partial _{\mu }\phi \left ( x \right )\equiv \left ( \frac{\dot{\phi }\left ( x \right )}{c}\; ,\; \nabla\phi \left ( x \right )\right )$

と書き、Lagrangian 密度を

$\mathcal{L}=\mathcal{L}\left ( \partial_{\mu }\phi \; ,\; \phi \right )$

と書く。なお普通の意味での Lagrangian は

$L=\int d^{3}\boldsymbol{x}\; \mathcal{L}$

で与えられる。さらに作用を、

$I=\int_{\Omega } d^{4}x\; \mathcal{L}\left ( \partial _{\mu } \phi \: ,\: \phi \right )$

と書くとき（Ωは任意の積分領域）、場のオイラーラグランジュ(Euler-Lagrange)方程式が、

$\partial _{\mu }\left ( \frac{\partial\mathcal{L} }{\partial \left ( \partial _{\mu }\phi \right )} \right ) -\frac{\partial\mathcal{L} }{\partial \phi }= 0$

で与えられることを示せ。
===================================================

古典解析力学では、自由度 f 個の力学系は

$L=L\left ( q_{1},q_{2} ,\cdots ,q_{f},\dot{q}_{1},\dot{q}_{2},\cdots ,\dot{q}_{f}\right )$

で特徴づけられ、運動方程式は f 個の Euler-Lagrange の方程式

$\frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{1}} \right )-\frac{\partial L}{\partial q_{1}}= 0$

$\; \; \; \; \vdots$

$\frac{d}{dt}\left ( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{f}} \right )-\frac{\partial L}{\partial q_{f}}= 0$

となることはよく知られていますね。

「場」になると、無限自由度なので、無限個の Euler-Lagrange の方程式になることになってしまいます。
そこで、Lagrangian ではなく、Lagrangian 密度を使うことにして、一つの方程式にしているのでしょう。
さらに、古典力学では（一般化ではありますが）座標は質点の位置を示し、「時間」はパラメータですが、今回は時間も座標として扱います。
また、μに関して、アインシュタインの縮約ルールを使っていることを留意願います。

さて、例題の分析を始めましょう。

場の変分を

$\phi \left ( x \right ) \mapsto \phi \left ( x \right )+ \delta \phi \left ( x \right ) \; ,\; \delta \phi \left ( x \right )\ll 1$

と書き、

$\delta \phi \left ( x \right )= 0\; ,\; x\in \partial\Omega$

としましょう。∂Ωは積分の境界を示します。
ここで、作用 I が不変とすると、　δI = 0 から、

$\delta I= \int_{\Omega }d^{4}x\left [ \mathcal{L}\left ( \partial_{\mu }\phi +\partial_{\mu }\delta \phi ,\: \phi +\delta \phi \right ) -\mathcal{L}\left ( \partial_{\mu }\phi ,\: \phi \right )\right ]$

$= \int_{\Omega }d^{4}x\left [ \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial\left ( \partial_{\mu }\phi \right ) }\: \partial_{\mu }\delta \phi+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi } \delta \phi \right ] =\int_{\Omega }d^{4}x\frac{\partial \mathcal{L} }{\partial\left ( \partial_{\mu }\phi \right ) }\: \partial_{\mu }\delta \phi +\int_{\Omega }d^{4}x\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi } \delta \phi$

$=\left [ \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial\left ( \partial_{\mu }\phi \right ) }\: \delta \phi \right ]_{\Omega } -\int_{\Omega }d^{4}x \partial_{\mu } \left ( \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial\left ( \partial_{\mu }\phi \right ) } \right ) \: \delta \phi +\int_{\Omega }d^{4}x\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi } \delta \phi$

$=-\int_{\Omega }d^{4}x \partial_{\mu } \left ( \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial\left ( \partial_{\mu }\phi \right ) } \right ) \: \delta \phi +\int_{\Omega }d^{4}x\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi } \delta \phi$

$=\int_{\Omega }d^{4}x \left [ - \partial_{\mu } \left ( \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial\left ( \partial_{\mu }\phi \right ) } \right )+ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi } \right ] \: \delta \phi= 0$

Ωが任意であったので、それを無限小の領域⊿Ωとすると、上式から、

$\left [ - \partial_{\mu } \left ( \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial\left ( \partial_{\mu }\phi \right ) } \right )+ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi } \right ] \: \delta \phi\Delta \Omega = 0$

であり、⊿Ω≠ 0 , δφ≠ 0 なので、

$\partial _{\mu }\left ( \frac{\partial\mathcal{L} }{\partial \left ( \partial _{\mu }\phi \right )} \right ) -\frac{\partial\mathcal{L} }{\partial \phi }= 0$

が得られます。

今日はこの辺で。。

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