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zoom RSS 空洞輻射のおさらい(6)

<<   作成日時 : 2018/07/10 00:01   >>

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ここで、空洞輻射の話をまとめて一旦終わりとしましょう。

前記事でレイリージーンズの輻射式の話をしましたが、無限個の調和振動子がすべて を持つとすると、 でない限り、真空中に無限大エネルギーを持つことになります(零点エネルギーは考えていません)。これは明らかに実態にそぐわない理論です。→ 古典論の矛盾を露呈することになり、量子論の発生を促すことになります。

いままで求めた式を量子論に移行するには、 で記述される各振動子にシュレディンガー方程式を適用して、再びこれを「波」に戻すことを考えます。
ただし、この波は を座標軸とする抽象的な1次元空間の「物質波」であって、もとの電磁波ではないことに注意が必要です。
具体的には「ハイゼンベルグ表示の調和振動子(1)」「ハイゼンベルグ表示の調和振動子(2)」を参照して下さい。
零点エネルギーを別にすると

 角周波数 の古典的調和振動子のエネルギー →  (量子論では) 整数倍に限る

ということになります。
この整数 光子の数と見做し、 をその光子1個が持つエネルギーと見做すと、電磁場は光子の集まりということになります。

統計力学によると、1個の振動子がとりうるエネルギーの値が のようにとびとびの場合、平均エネルギーは

 

で与えられるということです。よって とすると、

 

となります。ここで、「空洞輻射のためのちょっとした備忘録」で示したように、

  

なので、

 

となりました。
ここで、レイリージーンズの輻射式

 

を思い出すと、これは平均エネルギーを としていましたが、この代わりに先に求めた平均エネルギーを代入します。

 

これが、量子論で求めたものであり実態に合致するものでした。もう一度書くと、

 

であり、これをプランクの輻射式といいます。
ここで、
 
 

という公式を踏まえると、

 単位体積中の輻射の全エネルギー=
  
  
 
となり、 に比例することになり、これをシュテファン=ボルツマンの法則と呼ばれます。

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