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zoom RSS 有理数に関する問題の備忘録(1)

<<   作成日時 : 2018/07/01 00:01   >>

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フェルマーの大定理が解けた!」の最初のほうに書いてあった問題ですが、解法も含めて備忘録として書いておきます。

[問題]---------------------------
を与えられた でない有理数とし、円
 
を考える。円(1)上の有理点(つまり、 座標、 座標がともに有理数であるような点)を求めよ。
--------------------------------

下図のように点Pを通る直線を考える。

画像


点Qの座標を求めることを考えます。

 

もちろん、 は自明なので、それ以外の解を求めます。
第1式を第2式に代入すると、

 

なので、

 

つまり、点Qの座標は

 

となります。
いま、問題の設定から、「 を与えられた でない有理数」ということなので、 が有理数ならば、点Qは円(1)上の有理点ということになります。
逆に点Qが円(1)上の有理点なら

 

なので、 が有理数ということになります。そうすると、

 

で、最終的に が有理数ということですね。
つまり、適当な自然数を として とすると、

 
 

なので有理点になります。
つまり、有理数 を選んで、計算すれば、それに対応する有理点が求まることになります。よって有理点は無数にあることになります。多分、有理数が加算無限個なので同様だと思います。

例: 半径 4 の円上の有理点で に対応するものは

 
  

検算

 

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