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zoom RSS 量子力学のおさらい_不確定性原理 (1)

<<   作成日時 : 2018/06/08 00:01   >>

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不確定性原理をフーリエ変換の観点から考えます。
簡単のため、1次元に絞ります。

 

ですが、変数を から に変えることを考えます。

 

なので、

 

となりますが、

 

とすると、

 

また

 

から

 

となります。まとめると変換・逆変換は

 
 

です。

  : 粒子の位置を の間に見出す確率
  : 粒子の運動量を の間に見出す確率

で表します。各々の分布の標準偏差を とすると、

 

ここで、

 

という量を考えると、どんな に対しても が成立します。これを計算すると

 
  
  


ですが、

 
  

なので

 

となります。また

 

から、

 
  

となります。これを の2次方程式と見做すと、これは重根か解が無いので、判別式はゼロ以下にならないといけないでしょう。つまり

 

から、

 

となります。ここで、

  

としても、どんな に対しても が成立します。

 
  
  
  

 
  
  

 
  
  
  
  

 
  
  
  
  
  
  
  
  


 
  
  


 
  
  
    
  
  
   
  
  
  

つまり、

 
  

先の議論と同じく、判別式を計算して条件を与えると

 

なので、最終的には

 

となります。

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