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zoom RSS 拡散方程式のグリーン関数(2)

<<   作成日時 : 2018/05/28 00:01   >>

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前記事の続きになりますが、ここでグリーン関数を導入します。

wikipedia によると、「物理学におけるグリーン関数」とは
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物理学においてグリーン関数は2通りの意味で扱われている。
 ・境界値問題における微分方程式の主要解を意味し、与えられた全ての境界条件・初期条件を満足する。
 ・ある物理系を構成する個々の状態間の相関関数を与える関数として使われ、位置や時間などで指定されたある状態から他の状態への伝達(伝播)の特性を表す。
物理学では、微分方程式を直接解く代わりに、まず単純な点源問題の解であるグリーン関数を求めた後、重ね合わせの原理によって微分方程式の解をグリーン関数を用いて表す。
-------------------------------------------------------------------------------

ここで本題に戻しましょう。
熱伝導方程式:

 

において、熱の発生源を表す右辺の非斉次項が、時間・空間の 関数である場合の を、この方程式のグリーン関数(Green function) と呼び、 で表わすことにすると、

 

となります。
境界条件として、断熱壁などが無く、 となるようなものは、「フーリエ変換の熱伝導への応用」で述べたように

 

が求めるグリーン関数になります。


さて、熱伝導方程式:

 

の右辺が一般関数 の場合の をグリーン関数を使って求めることができます。 関数の性質を利用すると

 
 
なので、

 
  
  
  

から

 

 

なので、

 

が求める関数になりますね。 として を代入するとこの記事の最初に示した熱伝導方程式になるというわけです。

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