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zoom RSS 簡単な数学問題なんだけど、わからなかった。。

<<   作成日時 : 2018/05/27 00:01   >>

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簡単な問題ですが、当初は分からなかったので、もう一度考えます。

[問題]==========================
となるような自然数 の組を の範囲で探したい。
そのようなものは何組あるか?
=============================

条件式を
 
 

と変形すると、7の倍数で5で割った余りが1になる組合せを Excel の mod 関数などを使って数え上げれば、力業で求めることができるでしょう。
一応正解を得るためにこの方法を使いました。でもこれはダサいです。

今回、
 
 

と変形してしまうと、右辺は5の倍数になるでしょう。5の倍数の下一桁は "0" か "5" です。
それを考えると、左辺は7の倍数から1を引いたものなので、この7の倍数の下一桁は "1" か "6" になるはずです。
こうなるのは、 の下一桁が のように "3" か "8" です。

の範囲で下一桁が "3" になるのは、

 

の 10 通り。同様に下一桁が "8" になるのは、

 

の 10 通り。
つまり、合わせて 20 通りになるでしょう。

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コメント(2件)

内 容 ニックネーム/日時
はじめまして。懐かしい問題ですね。
私が学校で習った解法は次のようなものです。

(1)とにかく 7a-5b=1 を満たす(a,b)を何でもいいから一組見つける。
例えば(3,4)。つまり、7×3-5×4=1

(2)7a-5b=1 と、見つけた組(3,4)を代入した式 7×3-5×4=1 を片々引き算する。
7(a-3)-5(b-4)=0。すなわち 7(a-3)=5(b-4)。これより(a-3)は5の倍数でなければならない。

(3)0<a<100 なので、-3<(a-3)<97。この範囲の5の倍数は 0×5, 1×5, ..., 19×5 の 20通り。

いかがでしょうか。
ポイントは、aとbの組みを何でもいいから一組見つけること。
そうすれば、与式と片々引き算して整数比の問題に持ち込めます。
よっしー
2018/06/11 20:14
コメントありがとうございます。なるほど、分かり易い方法ですね。ただ、これは(3,4)以外だと却って分かり難いのかも知れません。例えば (93,160) も条件を満たす1組ですが、-93<(a-93)<7で、この範囲で5の倍数を求めろ、、って私には若いり難いです。。
T_NAKA
2018/06/12 21:02

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