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zoom RSS フーリエ変換の熱伝導への応用(1)

<<   作成日時 : 2018/05/22 00:01   >>

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最終的にはグリーン関数に繋げるために、熱伝導の問題を考えていきます。
コンクリートの壁に断熱板が貼ってあり、その板から距離のある点だけを加熱した状態を考えます。

もう少し状況をはっきりさせましょう。下図のように、非常に厚いコンクリート壁があり、その一方の面 に断熱板が貼り付けてあるとします。

画像


軸上で断熱板から のところにある点 だけ加熱したとしましょう。その点 の点 の温度分布をδ関数を使って

 

であり、ベクトル表現をすると

 

となります。さて加熱を止めてから後( )のコンクリート内の温度分布はどうなるだろうか?という問題設定となります。

まず、問題を考えるにあたって、断熱板が無く、全空間がコンクリートで埋め尽くされているという状態を考察します。これは上で与えられた初期条件のもとで、次の拡散方程式を解くことになります。

 

まず、 についてフーリエ変換します。

 

そうすると、拡散方程式の左辺は

 

また、

 
  

から右辺は

 

つまり、右辺=左辺 から

 

という微分方程式になり、これはお馴染みの変数分離型で解は

 

となります。これを逆変換すれば温度分布が分かるのですが、その前に

 

という初期条件をもう少し変形しておきましょう。つまり


 

から、

 
  

つまり、

 

であり

 

なので、

 

つまり、微分方程式の解は

 

となり、これを逆変換すれば良いことになります。つまり

 
  
  

ここで、「フーリエ変換の問題 _(4) 」で求めた関係

 

を用いると

 

となります。
長くなったので、今日はこの辺で。。

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