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zoom RSS フーリエ級数の応用としての交流回路(1)

<<   作成日時 : 2018/05/18 00:01   >>

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物理現象のフーリエ解析」の「第3章 フーリエ級数の応用」の中に「§3.5 電気回路」という項があるので、一応電気技術者としておさらいしてみたいと思います。

この本は物理学のものなので、電気工学の交流回路理論の記述とは少し違っています。
まず、そのことについて述べてみましょう。
電気工学では「電流」を表す記号として  ではなく の頭文字の を慣例として使っていますが、これが虚数単位とバッティングするので、虚数単位の方は を使います。
「電圧」の方は素直に の頭文字の を使っています。
ところで、小文字の は各々の瞬時値を表すことが多いです。
問題は大文字の で、これは何を意味しているでしょう。
サイン波の交流電圧、交流電流は、

 
 

と表わされます。
は尖頭値で、サイン波の振幅を示し、 の実効値を示しています。
サイン波を単純に複素数に対応させるのだったら、

 

として計算するのが普通です。しかし、電気工学では計算結果として尖頭値を求めるより、直流と威力が同じ実効値を求める方が便利ということで、

 

という考え方をします。もう少し具体的にいうと

 

と対応させて、これを複素電流複素電圧といいます。
なので絶対値は  と実効値になります。


さて、電気工学の表記で「物理現象のフーリエ解析」の「§3.5 電気回路」を読んでいきます。
はじめに、 直列回路に電圧 を印加した場合の微分方程式が示されます。

 

ここで、

 

なので

 

となりますが、この式は線形なので

  : 起電力 に対する電流
  : 起電力 に対する電流

とすると、 に対して流れる電流は となります。
ここで、 のときにも形式的にこのことも言えるので、 に対する電流が のように求まったとすると、

 起電力 によって流れる電流は
 起電力 によって流れる電流は

であると言えるでしょう。
なのでこれからは交流電圧・交流電流をすべて複素数で表わすことにします。
そうすると、時間微分 ・時間での積分 と掛け算・割り算になり、コサインとサインが入れ替わるなどの煩わしさが無くなります。
これに従って、フーリエ級数も虚数の指数関数で表わすことにします。
線形であることを利用すると、フーリエ級数

 

で表わされるような起電力に対する電流 は各成分 に対する電流 を当初の微分方程式から求めて

 

とすれば良いことになります。

ここまで来ると、成分の1つだけを考えていけば良いということになりますね。よってこの本「物理現象のフーリエ解析」では、起電力

 

によって生じる電流を

 

として、その後の話を進めています。
しかし、電気工学の慣習から、このブログでは、起電力

 

によって生じる電流を

 

と、実効値で表現することにします。単純に を掛けたものと思っていただいて良いかと思います。

今日はこの辺で。。 

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