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zoom RSS 特殊な関数のフーリエ変換(2)

<<   作成日時 : 2018/05/15 00:01   >>

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次にδ関数の微分のフーリエ変換を考えてみます。

δ関数は普通微分可能ではないですが、微分可能な関数 を使って形式的な部分積分を考えます。どういうことかというと、

    
        ただし(

つまり、

 

と書け

 

となるでしょう。
このフーリエ変換は、「フーリエ変換の問題 _(1)」の結果「 のフーリエ変換を とするとき、 のフーリエ変換は になる」から

  のフーリエ変換

とすれば良いことになります。

 
δ関数と関係するεを無限小の正数とした場合の次の関数を考えます。

 

ここで、

 

で、実部と虚部をグラフにすると次のようになります。

画像


εが小さいとき

 

で、 のごく近くでは図のように急激な変化をします。したがって、 の近くで緩やかに変化する関数 に対して(ξ,η≫δ>ε> 0)

 

ですが、右辺の第3項は

 

なので、

 

ここで、 は「積分に際してコーシーの主値をとれ」つまり「上のような計算をせよ」ということです。

また、

 
 

から、

 

なので、ε→ 0 の極限では

 

となります。したがってε→ 0 では

 

となり、

 

と書くことができます。

今日はこの辺で。。

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