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zoom RSS フーリエ級数の複素数表示と正規直交関数

<<   作成日時 : 2018/04/26 00:01   >>

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これは分かってることなんですが、フーリエ級数はヒルベルト空間の簡単な例になるので、ちょっと触れておきます。

オイラーの公式 から、良く知られているように

 

となるため、フーリエ級数は

 
  
  
  

ここで、

 

とすると、

 

と表わすことができます。ここで、

 

を上式に適用すると

 

が求まりますね。

さて、ここで次のような関数列 を考えましょう。

また、内積

 

で定義して、 でないとき なら 直交するということにします。ここで式 (A) から、この関数列

 

なので、 のどの2つをとっても互いに直交しています。このようなとき 直交関数列といいます。また

 

のことをノルムといい、これが1になるように適当な数をかけることを正規化あるいは規格化といいます。
また正規化された直交関数列のことを、正規直交関数列または正規直交系といいます。

が上記正規直交関数列を用いた展開式(線形結合)で表わされることをフーリエ級数の完全性といいます。


[引用:「物理現象のフーリエ解析」p34]------------------------------------
 一般に、ある区間で定義された正規直交関数列 があるとき、同じ区間で定義された適当に性質のよい任意の関数 が、フーリエ級数のときと同様に

 

ただし

 


のように展開できるときに、完全正規直交関数列 、あるいは完全正規直交系であるという。このとき (1.38) をフーリエ式級数という。
-------------------------------------------------------------------------
  

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