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zoom RSS 簡単な積分公式を証明する

<<   作成日時 : 2018/04/02 00:01   >>

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ツイッターに載っていた積分公式があったんですが、それを検討したいと思います。これは難しいものじゃないのですが、一応書いておきたいと思います。(でも初等積分では証明できないのですが、、)

懸案の積分公式:

 

言わずもがななんでしょうが、 は整数、 は実数で ということなんでしょう。まあ、そこまで規定しなくても良いのかも知れませんが。。

まず、

 

としてみましょう。
また変数変換を とすると、

 

なので、

 

さらに、 とすると

 


なので、

 
  

となります。ここで、ベータ関数が

 

なので、

 

となります。ところで、 が整数だとすると、 なので、

 

となります。

[あもんさんのコメントから追記]-----------------------------------------

証明すべき式に階乗が含まれていたので、ガンマ関数かベータ関数になるんだろうなと考えて、そこに持っていく変形をして済ませてしまいました。
よく考えれば、mとnが正の整数ならば部分積分と漸化式が使えますね。あもんさんのコメントを本文に追記します。

 
  

つまり、

 

となります。これを続けると

 
  
  
  

なので、

 

となります。


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コメント(2件)

内 容 ニックネーム/日時
ベータ関数を知らない高校生でも、部分積分と漸化式の知識で解けるでしょうね。

J(m,n) = ∫_0^1 (1-t)^m t^n dt
とすると、部分積分により、
J(m,n) = m/(n+1) * J(m-1,n+1)
という漸化式が得られるので、
J(m,n) = m/(n+1) * (m-1)/(n+2) * …
* 1/(n+m) * J(0,n+m)
また、J(0,n+m) = 1/(n+m+1) なので、
J(m,n) = n! m! / (n+m+1)!
あもん
2018/04/02 02:19
あもんさん コメントありがとうございました。記事本文に内容を追記させていただきました。
T_NAKA
2018/04/02 15:00

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