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zoom RSS フーリエ係数の最終性?

<<   作成日時 : 2018/04/23 00:01   >>

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今、「物理現象のフーリエ解析」という本を眺めています。ここで掲題のような説明があったのですが、これはあまり意識してなかったので、ちょっと勉強です。

において までの有限なフーリエ級数で近似することを考えます。この近似フーリエ級数を で表わすことにしましょう。

 


これと との差 区間で mean square

 

を計算します。
ここで、

 
 
 

なので、

 
  

となります。この を最小にする係数を求めると

 
 
  

となり、この結果はそもそものフーリエ係数です。これを をいくつにとるかには関係しません。これを フーリエ係数の最終性 (finality) というようです。
これらの係数を改めて の式に入れると

 
  

となりますが、mean square なので、 から

 

という不等式が成り立つことになります。また、

 
  
  

なので、 で、 であるから、

 

したがって、

 

が成立し、これをパーセバル(Parseval)の等式といいます。

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