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zoom RSS フリードマンモデルにいたるまで(3)_ロバートソン=ウォーカー計量

<<   作成日時 : 2018/02/09 00:01   >>

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まず、前記事の結論であるスカラー曲率を再掲します。

 

一様等方性ということから考えて、上式の{ }が場所の関数になってはいけないので、これを定数 とします。何故 が付いているというと、後々の展開が楽になるからです。

 

全体に をかけると

 

となります。ここで左辺第2項の に注目すると、

 

なので、 とすると、該当方程式は

 

となり、1階線形微分方程式なので、

 
  
  

であり、

 

となるわけです。この が微小なときはミンコフスキー空間に近似しなければならないので、 となり、最終的には

 

ロバートソン=ウォーカー計量が出てきました。
この については、3次元空間で、負、ゼロ、正で、リーマン空間、ユークリッド空間、ロバチェフスキー空間を示すことになります。(-1,0,+1 とする教科書のありますが、これは単位の取り方の違いです。)
これらの記事の目的はフリードマンモデルの導出なので、ここら辺の話題にはあまり深入りしないことにします。
今日はこの辺で。。。

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