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zoom RSS 「曲がった空間の幾何学」を読んだ

<<   作成日時 : 2018/02/20 00:01   >>

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昨年ブルーバックス「曲がった空間の幾何学」を購入していたのですが、積読状態になっていました。ここに来て読んでみました。

下に少し詳細な目次を示しますが、内容が幅広いのに¥1,166とは安いかも知れませんね。
あとがきを読むと同じ著者の「現代幾何学への招待」と内容や図表などが共通しているものが多いとのことです。

どうも私は数学が苦手なんで(じゃあ何が得意なんだ?)、数学専門書を読み通すだけの根性がありません。そこで、大雑把に数学のある分野を把握するために良くブルーバックスなどの啓蒙書を読むのですが、この本は読んでも全部は理解できませんでした。あとがきに「この本を読んでいただいたら数学専攻の大学生2年くらいの幾何の知識が身についたと思ってよいと思います」と書いてありましたが、そういう意味では数学科に行かなくて良かったと思います。

さて、こういう微分幾何学については5年位前に「滑らかな曲線」〜「いろいろな曲面(1)_ a )2次曲面より」などで勉強していますし、一般相対論の記事も多いので「曲がった空間」には慣れているつもりです。そんな私が読んで理解の程度を章ごとに書いてみましょう。

[分かった積もりになれた章]----------------
第1章 はじめに
第2章 近道
第3章 非ユークリッド幾何学からさまざまな幾何学へ
第4章 曲面の位相
第5章 うらおもてのない曲面
第6章 曲がった空間を考える
第7章 曲面の曲がり方
第9章 ガウス―ボンネの定理
第10章 物理から学ぶこと
第13章 行列ってなに?
------------------------------------------ 

[半分位分かった積もりになれた章]----------
第14章 行列の作る曲がった空間
------------------------------------------ 

[読むのをパスした章]---------------------
第11章 三角形に対するガウス―ボンネの定理の証明
------------------------------------------ 

[読んでも分からなかった章]---------------
第8章 知っておくと便利なこと
第12章 石鹸膜とシャボン玉
第15章 3次元空間の分離
------------------------------------------ 

物理オタクとしては、「第13章 行列ってなに?」「第14章 行列の作る曲がった空間」でリー群のことが取り上げられていて、ちょっと面白かったですね。SO(2) が円周と、SU(2) が(3次元の球ではなく)3次元の球面と同値であることが良く分かりました。「第11章 三角形に対するガウス―ボンネの定理の証明」は微分形式が苦手なのでパスしてしまいました。

全体としては(私には)分からない部分がありますが、現代幾何学の辞書のようなものと考えると価格もページ数も手頃なので、持っておいて損はないものと思います。
次に同じ著者の「現代幾何学への招待」に進むことも考えたのですが、未だ積読になっている本がたくさんあるので、今回は止めておきます。


[目次]----------------------------------------
まえがき

第1章 はじめに

 1-1 曲がっていない空間
 1-2 ユークリッド距離とは?
 1-3 ベクトルと線形空間
 1-4 長さと角度
 1-5 曲線の長さ
 1-6 線分と円弧の長さ

第2章 近道

 2-1 近道を探そう
 2-2 曲線の曲がり方
 2-3 近道は測地線
 2-4 近道は1つとは限らない

第3章 非ユークリッド幾何学からさまざまな幾何学へ

 3-1 球面と双曲平面
 3-2 非ユークリッド幾何学 
 3-3 三角形の内角の和
 3-4 リーマン幾何学 
 3-5 ミンコフスキー幾何学

第4章 曲面の位相

 4-1 連続変形
 4-2 単体分割とオイラー数 
 4-3 曲面の三角形分割
 4-4 曲面の位相的分類と連結和 
 4-5 オイラー数と種数T

第5章 うらおもてのない曲面

 5-1 うらおもてのない曲面
 5-2 うらおもてのない閉曲面の分類 
 5-3 オイラー数と種数U

第6章 曲がった空間を考える

 6-1 そもそも曲面とは?
 6-2 曲面から多様体 
 6-3 曲面の曲がり方の導入 
 6-4 オイラーの考えたガウス曲率  
 6-5 平坦な曲面と負の定曲率曲面

第7章 曲面の曲がり方

 7-1 曲面の計量と第1基本形式
 7-2 第2基本形式 
 7-3 ガウス曲率と平均曲率
 7-4 ガウスの驚愕定理 
 7-5 等温座標によるガウス曲率 
 7-6 ガウス曲率とガウス写像

第8章 知っておくと便利なこと

 8-1 立体射影(球面の場合)
 8-2 立体射影とケーリー変換(双曲面の場合) 
 8-3 球面上の距離はどう測るのか―フビニスタディ計量
 8-4 三角関数と双曲線関数 
 8-5 双曲面上の距離はどう測るか―ポアンカレ計量

第9章 ガウス―ボンネの定理

 9-1 外積と面積要素
 9-2 線積分と面積分 
 9-3 ガウス―ボンネの定理と三角形の内角の和
 9-4 近道が1つしかない空間 
 9-5 閉曲面に対するガウス―ボンネの定理
 9-6 曲率と位相

第10章 物理から学ぶこと

 10-1 勾配ベクトル場と発散定理
 10-2 ストークスの定理T 
 10-3 調和関数
 10-4 最大値関数

第11章 三角形に対するガウス―ボンネの定理の証明

 11-1 簡単な微分形式
 11-2 外微分 
 11-3 ストークスの定理U
 11-4 ストークスの定理の応用
 11-5 三角形に対するガウス―ボンネの定理の証明

第12章 石鹸膜とシャボン玉

 12-1 石鹸膜の幾何学
 12-2 シャボン玉の幾何学 
 12-3 石鹸膜とシャボン玉
 12-4 勾配流、平均曲率流

第13章 行列ってなに?

 13-1 線形性とは?
 13-2 行列  
 13-3 固有値
 13-4 実対称行列の固有値の位置
 13-5 実対称行列の固有ベクトルの直交性

第14章 行列の作る曲がった空間

 14-1 行列の作る群の形
 14-2 リー群 
 14-3 SU(2) と SO(3) の表す図形
 14-4 群作用と対称性 
 14-5 被覆空間 
 14-6 どこから見ても同じ空間

第15章 3次元空間の分離

 15-1 ポアンカレ予想
 15-2 幾何学化予想

あとがき
関連図書
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