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zoom RSS twitter で見たが解けなかった問題

<<   作成日時 : 2018/02/02 00:01   >>

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簡単だと思っていたけど、解けなくて解答を見てしまった問題を備忘録として残しておきます。

問題:
をゼロでない正の実数のとき、次の不等式を証明せよ。

 

何故解けなかったのか?:
 まず、真ん中の定積分を計算しましたが、対数関数なんかが出てきて、何ら問題の不等式を証明することに寄与しなかったのです。つまり、定積分はそのままの形にしておく必要があるらしいですね。

こうやって解くらしい:
 方針としては全てを定積分の形にするようですね。ところで真ん中は定積分なので計算すれば、 は消えてしまいますが、 の条件として、積分範囲から

 

です。ここで、 はゼロでない正の実数なので、全部に加えても大小関係は変わりません。つまり、

 

であり、逆数をとると、大小関係が逆になるので

 

です。後々のことを考えて並べ方を変えると

 

となります。ところで、 未満ですが、正の実数なので、全部に掛けても大小関係は変わりません。つまり

 

です。これを の範囲で積分すると、

 

となります。さらに、

 

を考慮すると、上の不等式は

 

となります。

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