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zoom RSS フリードマン方程式をちょっといじる

<<   作成日時 : 2018/02/14 00:01   >>

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と宇宙定数 を明示的したフリードマン方程式をいろいろと考えるにあたって、これをいじってみようと思います。手持ちの教科書・参考書では明確な記述が見つからないので、ちょっと自信がありませんが。。

さて、前記事で求めた結果を再掲します。

 
 

(A) を変形します。

 

これを (B) に代入します。

 

さらに、

 

これは「一般相対論入門」P115 に記載されていた内容が元なんですが、(C) 式を次のように変形します。

 


この( )の中の2項3項を無視すると

 

となり、この式の ( ) の中は半径 の球の体積であり、 を掛けると、その球の質量となります。よって簡単に書くと

 

と、半径 の球殻上の粒子のニュートン力学の運動方程式になっていることが分かります。つまり、

 

において

 


第1項 → 通常の質量に対応
第2項 → 圧力があると一般相対論では実効的に重力が増すことを示す。
第3項 → 正の宇宙項は実効的には負の重力として寄与することを示す。→「宇宙定数は万有斥力の役目をする」
と解釈することができます。

ここで(C)式見ると、右辺の( )の中がゼロにならないとスケール因子は固定されず、常に不安定であることになります。
アインシュタインは安定させるために宇宙定数を導入したのですが、現在はダークエネルギーとして別の意味を付与されています。

さて、(A) 式を次のように変形します。

 

これを時間で微分して

 
 

なので、

 

となります。ここで(C) 式を変形して

 

とし、(D) と (C') 式を比べると、

 


から、

 

となりました。この(E)式と(A)式を宇宙論の解析に使うことが多いとのことです。

再掲しておくと、

 
 

です。

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