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zoom RSS 場の量子論のやり直し(53)_相互作用する場

<<   作成日時 : 2018/01/12 00:01   >>

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今回は、 "3.1.1 Dyson’s Formula" の後半読んでいきたいと思います。
具体的には P52 の "Claim" 以降を読みます。

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要求:

(3.16) の解はダイソンの公式によって与えられる。(基本はディラックによって最初に考察されたが、コンパクトな表記はダイソンによるものである。)

 

ここで、 は後の時間に評価されたオペレータが左に置かれる時間順序作用素(T-積)を表す。

 

(この数式の不等式では ">" を使わなくってはいけないのですが、HTMLの関係で使えません。"" を ">" と読み替えて下さい。)
(3.20) 式を展開すると、

 

実際、これらの最後の2つの項は次式から2倍になる。

 
         

ここで最初の式の積分範囲は を超え、2番目の式では であり、これはもちろん同じものである。最後の式は、簡単な再ラベル付けによる2番目の式と同じである。これは次のように書けることを意味する。

 

証明:

ダイソンの公式の証明は、すべての表記の意味を説明するよりも簡単である!(その順序はすでに T 記号で固定されているため)最初に T 記号の下で、すべてのオペレータが交換する。したがって

 
      

積分の上限である は最新時刻であるので、 は左に引き出すことができる。□

議論が進む前に、ダイソンの式がかなり正式であると告白する必要がある。実際には時間順序の指数関数を計算することは通常は非常に困難であり、この級数は、 が小さく、非常に簡単に計算されるときに有効な展開によるものである。
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