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zoom RSS 場の量子論のやり直し(52)_相互作用する場

<<   作成日時 : 2018/01/11 00:01   >>

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今回は、 "3.1.1 Dyson’s Formula" 読んでいきたいと思います。その前のこれに関連する記事を以前にも書いていましたので、そのまとめ的な記事を「量子系の時間発展の記述(9)三つの描像の比較@」を示しておきます。この記事で「朝永-ディラック描像」と記しているのは「相互作用描像」の別名です。
なお、今回の内容はちょっと長いので、2分割するつもりです。

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3.1.1 ダイソンの公式

「バーミンガムには、理論的には理想的な物理学者がいる。ブリストルには最高の実験物理学者パウエルがいる。ケンブリッジには優れた建築がある。君は君の選択をすることができるよ。」- どの大学のポジションを受け入れるべきか?オッペンハイマーからダイソンへのアドバイス

我々は (3.14) 式を解いてみたい。そこで解を次式のように書いてみよう。

 

ここで、 はユニタリー時間発展オペレータで、 であり ということである。さて、相互作用描像でのシュレディンガー方程式 (3.14) は次のことを要求する。

 

もし が関数であるならば、次のように簡単に解くことができる。

 

しかし、問題はある。このハミルトニアン は一つのオペレータであり、順序問題を抱えている。なぜこれがトラブルを引き起こすのか見てみよう。 オペレータの指数関数は、展開の観点から次のように定義される。

 

しかし、これを に関して微分しようとすると、第2次項は次のようになる。

 

ここで、第2項は、(3.16) の右辺に必要な の一部を与えるので、ここでは良好に見える。しかし、初項は が積分項の間違った側に位置し、 のとき なので交換できない。では、これはどうしたらいいか?
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最初に読んだとき (3.18) の2次項から (3.19) が何で出てくるのか?ピンとこなかったのですが、これは簡単なことでした。つまり、 (3.18) の2次項は

 

なので、これを で微分すると

 
   

ということですね。

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