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zoom RSS 調和関数を求める

<<   作成日時 : 2018/01/30 00:01   >>

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ラプラシアンを作用させてゼロになる関数を調和関数というようです。いままで「2次元ラプラシアンを極座標化」をやってきましたが、これを使ってrのみの関数としての調和関数の一般解を求める問題を解きます。

問題: として

 

である。 の一般解を求めよ。

解:
なので、極座標が使えるため、

 

として良いでしょう。 のみの関数なので、 を無視して、

 

となります。ここで、

 

なので、微分方程式は、

 

となります。 を定数として、

 

となり、最終的に

 

となります。

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