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zoom RSS 場の量子論のやり直し(47)_相互作用する場

<<   作成日時 : 2017/12/05 00:01   >>

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今回から、新たなセクション "3. Interacting Fields" に入ります。
最初は 、ゆっくり読んでいきたいと思います。

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3.相互作用する場

これまで議論してきた自由場の理論は非常に特殊で、そのスペクトルを決定することができるが、興味深いことは起こらない。それらは励起して粒子を有するが、これらの粒子は互いに相互作用しない。

ここでは、相互作用項を含むより複雑な理論の検討を始める。これらは、ラグランジアンの高次項の形を取る。我々は、どのような小さな摂動を理論に加えることができるかを考えることから始める。例えば、次式のような実スカラー場に対するラグランジアンを考える。

 

係数 は結合定数と呼ばれる。付加項が小さな摂動であることを保証するために、 にはどのような制限があるだろうか?単に ""とする必要があると考えるかもしれない。しかし、これは全く誤っている。 なぜか?について知るために、いくつかの次元解析をしよう。
最初に、作用は角運動量の次元、または等価的には と同じ次元を持つことに注意して欲しい。冒頭で に設定したので、 となる。 および とすると、 ラグランジアン密度は次式のように  でなければならない。

 

ラグランジアン(3.1)にとってこれはどういう意味があるのだろうか? なので、次式のように全ての因子の質量次元を読み取ることができる。

 

よって、この陳述が無次元量に対してのみ意味をなすため、なぜ が必要であると言うことができないのかを見る。 によってパラメータ化された様々な項は、3つの異なるカテゴリに分類される。

・   この項では、無次元パラメータは であり、 は質量の次元を持つ。典型的に場の量子論においては、 は関心のあるプロセスのエネルギースケールである。これは、 が高エネルギー  では小さな摂動であるが、低エネルギー では大きな摂動であることを意味する。この行動でラグランジアンに追加する項は、低エネルギーで最も関連性がある(結局のところ我々が誤魔化す物理学の大部分を占める)ため、関連 () と呼ばれる。相対論的理論では、 なので、 を取ることによって常にこの摂動を小さくすることができる。

・   この項は なら小さいものである。このような摂動は限界的 () と呼ばれている。

・  ただし  無次元パラメータは()であり、低エネルギーでは小さく、高エネルギーでは大きくなる。そのような摂動は無関係 () と呼ばれる。


後で見るように、場の量子論では高エネルギープロセスを避けることは通常不可能である(真空エネルギーを計算する際にこれを垣間見ることができた)。これは、「無関係」な演算子に問題が生じる可能性があることを意味する。 確かに、これらは任意に高エネルギーで無限を意味することができない「くりこみ可能でない」場の理論につながる。これは必ずしも理論が役に立たないということを意味するものではなく、一部のエネルギースケールでは不完全であるということだけである。

しかし、関連性あり、限界的、無関係と素朴な割り当てが必ずしも固定されているとは限らないことに注意して欲しい。量子補正は時々演算子の性格を変えることがある。
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私が良く理解出来ていなので、訳文が分かり辛いものになっており、もう少し考えてみる必要があります。
特に次元解析の部分が べき数 で表わしているので「?」となってしまいました。
自然単位を使わずに考えると、作用 S の次元は、

 

ですが、 と考えると、 なので、

 

ということでしょうか?
それにより、

 
 
 

とすると辻褄が合いますが、正しいかどうか?は分かりません。

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場の量子論のやり直し(48)_相互作用する場
今回は、 "An Important Aside: Why QFT is Simple" 読んでいきたいと思います。ただ1ケ月のブランクがあることと、前記事な内容をよく理解していないので、上手く続けられるか?ちょっと自信がありません。。 ...続きを見る
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2018/01/05 17:27

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