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zoom RSS 場の量子論のやり直し(38)_自由場(ハイゼンベルグ描像の検算)

<<   作成日時 : 2017/11/08 00:01   >>

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前記事「場の量子論のやり直し(37)_自由場(ハイゼンベルグ描像)」の検算をやってみます(そんなに難しいものじゃありません)。

 
  
  

例1:

 
 
 
 
から
 
 
なので、
 
  
  
 
例2:

 
  
なので、
 
  
  
  
 
例1と例2の結果から
 
であり、最後の式がクライン-ゴードンの式に他なりません。

さて、消滅生成演算子は時間発展する因子がないので、シュレディンガー描像に関するものということになります。これをハイゼンベルグ描像に使えるものにすることを考えます。

場の量子論のやり直し(28)_自由場(粒子) の (2.41) 式から、

 

というのを前提とします。
まず、消滅演算子 に時間的因子 をかけてシュレディンガー描像に関するもの としましょう。つまり、

 

ということになります。
 したがって、

 

であり、最後の式の右辺は

 

なので、

 

となり、この微分方程式の解は

 

なので

 

つまり、

 

です。同様な議論で、

 

となります。
いま、

 

において、ハイゼンベルグ描像に使えるように

 

という変換を行うと

 

となります。ここで 4元ペクトル

 

を使うと

 

になりました。

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