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zoom RSS 重力波_4重極モーメントまで(1)

<<   作成日時 : 2017/11/03 00:01   >>

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重力波とはなにか」とかも積読になってしまったのですが、数理科学「相対論的思考法のすすめ」(2017,8)の「相対論と宇宙物理学」に「4重極モーメント」に関する式があって(上手くいくか分かりませんが)これを導出してみたいと思います。

手持ちの参考書は、
 @「もうひとつの一般相対論入門」須藤靖
 A「相対論」平川浩正
です。ただしAについては「初版」です(現在は第2版)。

両方のテキストで殆ど同じ内容なので、多少テキスト丸写しになる可能性もありますが、なるべく独自性を出したいと思います。

さて、上述の樫山和巳先生の数理科学「相対論的思考法のすすめ」(2017,8)の「相対論と宇宙物理学」の最初の4式を引用します。

 
 

(1)式は、いわずもがなのアインシュタイン方程式で、(2)式は実際の計量をミンコフスキー計量とのズレで表わしたもの。「アインシュタイン方程式の弱場近似と線形化」では良く行う手法ですね。(3)式は適切なゲージで取って式を整理したもの。(4)式はポストニュートン展開の最低次だけをとって整理したものということです。

ここでは(4)式までなんとかたどり着きたいと思います。

[@p81〜82 の引用の要約]------------------------
・弱場近似

重力場の場合は、 の中を が伝播する⇒ 「媒質=媒体」、分離して考えるのが難しい。
なので、概念的に受け入れられる弱い重力場:

 

に限定して考えることになる。
--------------------------------------------------

つまり、ミンコフスキー時空に歪みが加わったものが現実の時空と捉えるということでしょうかね。。説明では、

 (時空)=(不変な媒質=容れ物)+(変化する媒体=時空の振動)

ということになります。
ちょっとクドイですが、東海岸方式では

 

ですね。
さて@での記述では、任意のテンソル (添字は省略)の座標に対する偏微分を



のように略記することになっています。
と同じ大きさ以下の微少量である場合には、それらの最低次では偏微分の足もまた を用いて上げ下げできる」ので、例えば

 

とできます。

これらを踏まえて、アインシュタイン方程式を に関して線形化することを考えます。

(1) クリストッフェル記号

 (時空)=(不変な媒質=容れ物)+(変化する媒体=時空の振動)

なので、 の偏微分が の偏微分になり、

 

となり、「 と同じ大きさ以下の微少量である場合には、それらの最低次では偏微分の足もまた を用いて上げ下げできる」ので、

 
  

となります。まとめると、

 

です。

(2) リッチテンソル

 

ですが、右辺第2項以下は

 

と捉えられるので、

 

となります。右辺は (1) クリストッフェル記号 の結果を使って

 
  
  
  

となります。
ここで、

 

であり、
 
 

となります。これから縮約して、

 
  
  

ここで最右辺の第1項を見ていくと、

 

なので、まとめますと、リッチスカラーは

 

となります。
ここからアインアフタインテンソルを求めることになりますが、長くなるので今日はこの辺で。。

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