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zoom RSS ディラックのδ関数の復習(2)

<<   作成日時 : 2017/11/26 00:01   >>

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公式集 量子力学とその周辺」の"Y.1 δ-function"の続きです。

Y.1.5

 

 階段関数であり、この証明は「もう一度、階段関数の問題を考える。」のオマケに示してあります。この証明では階段関数とディラックのδ関数を具体的な形で使っているのでちょっと引っ掛かるのですが、、

別の方法では

 
  
  
  

つまり、

 

から、

 

Y.1.6

 

ここではディラックのδ関数を具体的な形を初めて示しています。δ関数は超関数であり、本来具体的な形は無いのですが、実際にはいろいろな具体例が示されているようです。ところで、ディラックのδ関数の基本的定義や性質は

 

でした。 とすると、


 
 

なので、

 

という性質は満足しています。さらに

 

なので、 は、


 

という性質を満足していて、あたかもディラックのδ関数のように振る舞いますね。つまり、

 

としてしまうということです。数学的に正しいかどうかは分かりませんが、この公式集にあるので物理でこういうことにして使うということでしょう。
さて、ここでディラックのδ関数のラプラス変換を考えます。

 

ラプラス逆変換は

 

したがって

  
 
ここで、 なのですが、極限  を考えると

 

さらに、 と置くと  なので

 

となります。

ついでにフーリエ変換についても考えてみます。いろいろな表現方式はありますが、ここでは

 

とすると、

 

なので、こちらのほうが簡単ですね。

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