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zoom RSS 重力波_4重極モーメントまで(5)

<<   作成日時 : 2017/11/15 00:01   >>

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前記事で求めた重力波方程式の解を求めることになります。

真空中を伝播する重力波方程式は

 

で、その単色平面波解は

 

となりますが、これを具体的に求めてみるということになります。

[「もうひとつの一般相対論入門」引用 p87]=================
 ここで は重力波の偏光テンソルと呼ばれ、その成分はすべて定数である。 この は複素数であるが、電磁場 の場合などと同様に、実際にはその実部をとることを暗黙のうちに仮定している。
========================================================

当たり前ですが、量子力学の波動関数のように本質的に複素数ではなく、三角関数を簡易的に表しているということでしょう。

さて、ここまでで得られた条件から、

は対称テンソルなので、 も対称テンソル。つまり、

・ ゲージ条件、 から、
  
  
  

 ・ 波動方程式 から
 偏光テンソルは成分がすべて定数なので、 であり、 から、 
 
  

まとめると、

  、  、  

となります。

さて、この本「もう一つの相対論入門」では、「 の独立な自由度を持つように思えるが実際には 自由度しかない」という記述があるんですが、「 の独立な自由度を持つように思える」というのがちょっとピンと来ません。。
対称テンソルなので、 の独立な自由度を持つのは理解できます。後の つの自由度はどういうことでしょう?
多分、 を書き下すと、

 

つの制限で つの自由度が減少するということになるのでしょう。
上手く説明出来ないので、これは受けいるとして、「実際には 自由度しかない」ということに検討に入ります。
ゲージ条件から、

 

を満たす を選べば としても方程式は変わらないということでした。
上の式を見ると、 を右辺に加えて としても式は変わらないことが分かります。つまり、この自由度が残っていることになりますね。
このように変換したものを とすると、前記事と全く同じ考察から、

 
 

が成立するので、 をみたす限り、 の自由度の存在はゲージ条件式には影響しません。具体的に、 を定数とすると、

 

とすれば、条件 から、 が満たされます。
これを、 の右辺に代入すると、

 
  
  
  
  

となるので、次の引用に続きます。

[引用 p87]=========================================
 

となる。
 この式からも 自由度のうち つはこのゲージ自由度に対応していることがわかる。 このように、重力波の本当の自由度は である。
================================================= 

実は、ここのところを読んで良く分かりません。。

 

の最後の項 で拘束条件になっているような気もしますが、それなんでしょうか? つはこのゲージ自由度に対応しているというのが上手く説明できませんが、ここは結果だけを受け入れて先に進むことにします。分かった時点で書き変える積もりです。。

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