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zoom RSS 「真空中の電磁場(5)」の再掲

<<   作成日時 : 2017/09/06 00:01   >>

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真空中の電磁場(5)」を書き直します。

さて、前記事の調和振動子のモデルの解を考えることが必要ですが、これ自体は簡単ですね。
まず、懸案の調和振動子の方程式は なので、解は

 
 
となります。ここで、解として も成立し、 自体が と正負の範囲をとれるので、どちらでも良いのですが、 が正のときに進行波になるように選んであると思います。

ところで、 とフーリエ級数展開したときの係数が なので、 というのは の関数ではないということになります。
ということは 自体が にのみ依存する定数ベクトルであり、なんでもいいと言っても良い訳です。

とにかく、

 

というのが解になります。
ここでローレンス条件 を考えてみましょう。
成分

 

で偏微分すると

 

なので、

 

つまり、 という関係が得られます。 
さきに、 はなんでも良いと言いましたが、このローレンス条件 のために、 と直交していなくてはならないことになります。

が与えられたとき、これに垂直で長さ1のベクトルとして互いに直交するものを2つ選んで、それらを としましょう。
に垂直な任意のベクトルは、これらを用いて

 

で表わすと

 

となります。
ここで、 は勝手なスカラー(複素数)です。複素数は と書けるから、実数 を任意に選べると言っても良いことになります。
さてこれでは が複素数になってしまい、Maxwell方程式の解ではあるのですが、このままではベクトルポテンシャルとしては使えません。
ここで工夫が必要になります。先に求めた の複素共役を考えると

 

なのですが、これは

 

という条件式を満たすので、元の の和を新たな とすると、虚部が相殺されて2つの条件式も満たし、実数になるのでベクトルポテンシャルと扱うことが可能となります。よって

 

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