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zoom RSS 「真空中の電磁場(4)」の再掲

<<   作成日時 : 2017/09/04 00:01   >>

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本来なら「真空中の電磁場(3)」を考えるべきですが、内容が冗長なので、「真空中の電磁場(4)」を書き直します。

 

の解を として、Fourier 級数に展開することを考えます。

[条件]
・電磁場は1辺が の立方体(, 体積 )内にできている。
の3方向について周期的境界条件を設ける。

これで考えると

 

となります。
と書くと簡単に思えますが、ここに至るまでの筋道を書いておきます。

==========================================
Fourier級数展開の複素数表示:(周期 )

 

であり、係数は

 

が実関数であっても、 は一般的に複素数
==========================================

この前提のもとで、 なので、これをまず だけの関数とみて()で Fourier展開すると、

 

となります。次に だけの関数とみると

 

次に だけの関数とみると

 

となります。これを順に代入していくと、

  

から

 

ということになります。ここで、

 

とすると、

 

なので、

 

と書けるわけです。ここで、 の添え字 をひとまとめにして で表わしています。正確には e の肩にある と同じものではありませんが、比例するものです。

これから、、 の具体的な形について考えます。
これには、

 

を満足する必要があるので、左辺の個々の項について考えていきましょう。

 

なので

 

いっぽう、

 

だから、

 
  

となります。つまり各 に対して

 

となり調和振動子のモデルが出てきました。

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