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zoom RSS 「光子(2)」の再掲

<<   作成日時 : 2017/09/14 00:01   >>

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光子(2)」を書き直します。

前記事の結果から[電磁場のエネルギー]を求めてみましょうか。
まず、おさらいということで、

[電場・磁場]

 
 

[電磁場のエネルギー密度]

 

なので、

 電磁場のエネルギー

を計算することになります。
ここで、 の積分の計算においては、あえて添え字を変えてデルタ関数を意識します。
つまり、

 
  

となります。
ここで、積分は のとき以外はゼロになってしまうので、この場合のみを考えれば良いことになりますね。
具体的には のときに、式中の{ }の中がどういう値をとるかが問題となってきます。

@) の場合

であり、 は、ともに大きさ のベクトルで、 が異なれば直交するので です。また から

 式中の{ }

A) の場合

はベクトル に直交する面内にどのようにとっても良いので、 としても良いことになります。つまり反対向きのベクトル に対してもベクトル と同じものを使うことにします。
そうすると、 となります。
同様に

 
  

となります。よって、

 式中の{ }


つまり、 の場合のみゼロでなくなり意味を持つので、最終的には、 のところだけ残り

 

となります。

さて、 というのは実数ですね。
いまは古典論の話であり、手段として複素数を使っているので当たり前です。まあこれはエネルギーなんで実数だろうということからも頷けます。
そこで、この結果を実数で表すことを考えて、もとの定義から

 

なので、実数の

 

を用いることにしましょう。
そうすると、

 

ということになります。
表現を変えると、

 

とすることができます。よって、

 
 

となり、この2式の辺々の差を計算すると、

 
  
なので、 から、

 

となります。

これと質量 で角周波数 の1次元調和振動子のエネルギー

 

と比べると、電磁場は各 に対する の振幅と初期位相を指定すれば決まるだけではなく、エネルギーが振動子の和と同じ式で表されるという点で、全く振動子( 個)の集合体と同等と言えることになります。

つまり

 「真空中の電磁場は無限個の1次元調和振動子の集まりと同等である

ことが分かりました。

連続無限個の に対する の代わりに、可付番無限個の で電磁場が決まるということになります。
これは、「 粒子系の場合の という 個の座標」に相当するのが「 」であり、「 は電磁場を記述する"一般化された座標"である」ということが出来ます。( に相当する電磁場の自由度は無限大)

この座標に対応する運動量は、 が質量に相当するから

 

で定義されます。
ただし、これはあくまで一般化座標で表した なので、光子が運ぶ運動量とは別のものであることに注意です。

最終的に電磁場のハミルトニアンは
   
 

となりました。

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