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zoom RSS 場の量子論の問題 1-5

<<   作成日時 : 2017/09/11 00:01   >>

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5問目に移ります。

[問題5の訳]===========================================
ローレンツ変換 は、すべての に対して を意味するミンコフスキー計量 を保存するようなものである。
これは次式を意味することを示せ。

 

この結果を用いて、 が反対称である場合、つまり の場合、次式の微小変換がローレンツ変換であることを示せ。

 

軸の周りの微小な角度 の回転に対応する を行列形式で書け。
無限小の速度 軸に沿ってブーストする場合についても同じことをせよ。
=======================================================

 

から

 

辻褄が合えば、添え字を変えても良いので、右辺において という交換をすると

 

となり、ここから を除くと(10)式が導出されます。


(10)式の右辺に(11)式を適用すると、

 
   

なので、これが右辺と等しいので、

 

となります。

ただこの形だと実際の微小ローレンツ変換にしたとき分かり難いので、 の形にしておいたほうが良いでしょう。
まず、上式により対角要素はゼロ というのは自明です。
ところで、

  

なので、

 
 

つまり、

 

であり、先の求めた関係

 

から、

 

で、0行の要素と0列の要素は符号が変わらず対称であることが分かります。また

 

から

 

となります。これらの条件から


 

という変換行列になると予想されます。
 

さて、後半は

 
   



 
    

となります。これはもう少し考察したほうが良いかもしれません。
それは別記事にします。


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