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zoom RSS 場の量子論の問題 1-1

<<   作成日時 : 2017/08/30 00:01   >>

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とりあえず "Classical Field Theory" が終わったので、Problem Sheet 1 を眺めてみます。解けるかどうか?分からないので「眺める」としました。

[問題1の訳]===========================================
長さ 、単位長さ当たりの質量 および張力 の弦が各端部に固定されている。
横変位 の時間発展を支配するラグランジュは次式である。

 

ここで、 は弦の片方の端から位置を示す。
変位を正弦フーリエ展開として次式のように表現すると、

 

ラグランジアンは次のようになることを示せ。

 

さらに運動方程式を導出せよ。ここから、この弦は次式の周波数を持つ無限の分離された調和振動子の集合と等価であることを示せ。

 
=======================================================


 

なので、個別に積分を考えます。

 

これを計算すると、 の場合

 
  
 
  

また、

 
  
 
  


まとめると

 

となります。ここから、

 
  
 
  
  

なので、

 
  

が示されました。

後半は

 

から、オイラーラグランジェ方程式は

 

となります。一般に調和振動子は

 

なので

 

とすると、

 

と表現できて、調和振動子の集合と等価であることが分かります。

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