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zoom RSS 場の量子論のやり直し(21)_古典場の理論(ハミルトニアン形式)

<<   作成日時 : 2017/08/28 00:01   >>

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pdf Quantum Field Theory の "1.4 The Hamiltonian Formalism" に入っていきます。

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ハミルトニアン形式

ラグランジュ形式と量子論との間の関係は、経路積分に進む。このコースでは、経路積分について議論するのではなく、正準量子化に焦点を当てる。このためには、場の理論のハミルトニアン形式を必要とする。
まず、 の共役となる運動量 を定義することから始める。

 

共役運動量 は、場 自体と同様に、 の関数である。
(1.43)で定義された全運動量 と混同してはいけない。これは、場全体の構成を特徴付けるひとつの数である。ハミルトニアン密度は次式で与えられる。

 

ここで、古典力学のように、 の中で のために を消去する。
ハミルトニアンは簡単に次式で与えられる。

 
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一例:実スカラー場

ラグランジアン

 
 
から、 運動量を とすると、次のハミルトニアンを得る。

 

ハミルトニアンは総エネルギー(1.45)の定義に同値であることに注意せよ。時間変換不変性のためにネーターの定理を適用することからも得られる。ラグランジュ形式では、すべての作用がローレンツ変換で不変なため、ローレンツ不変性は明白である。対照的に、ハミルトニアン形式は明らかにローレンツ不変ではない:我々は時間を選択した。たとえば、次のハミルトンの方程式から運動方程式 が生じる。

 

これはオイラーラグランジュ方程式(1.6)とは異なり、ローレンツ不変量を見てはいけない。それにもかかわらず、ハミルトニアンの枠組みはローレンツ不変ではないように見えるが、物理学は変わらないままでなければならない。相対論的理論から始めるならば、最終的な答えはすべて、中間段階で現れていなくても、ローレンツ不変でなければならない。量子経路に沿ったいくつかの点で、これが実際に起こっているかどうかを確認するために中断するだろう。
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ちょっと、検算です。

 

なので、

 

となり、

 

 

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