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zoom RSS フォノンについて(4)の再掲

<<   作成日時 : 2017/08/25 00:01   >>

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フォノンについて(4)」の数式部分を書き直し、要約して再掲したいと思います。

結晶格子の場合は、標準振動の数(フォノンの種類)は と決まってしまいます。
しかし、それぞれの は振動の励起の度合いを示す数であるからいろいろに変化することができます。

したがってフォノンの総数 は、原子の数や電子の数のように一定に保たれるということはありません。

の固体の場合は、フォノンがひとつも無い状態(すべての が0)という振動系の基底状態であるはずです。

そうすると、次の例題が意味を持ってきます。

[例題]

絶対温度 の熱浴と接触してエネルギーのやりとりをして熱平衡になっている固体を調和振動子の集まりと見た場合に、ひとつの調和振動子が、エネルギー をもつ確率は に比例する。角振動数が のフォノンの平均値を求めよ。

[解]

以下 を単に と書くことにすると、 として許される値は

 

です。エネルギー をもつ確率は に比例するということなので、 を重みと見なすことが出来て、 の平均

 

ということになります。代入すると、

 
  
  
  
  

なので、結局
  
 

ということになります。

--------------------------------
ここで、 という関数を考えます。これを で微分すると なので、 です。
一方、 の等比級数とみなすと、

 

です。よって、これを で微分すると、

 

となります。つまり

 

ということになります。
--------------------------------


これを利用すると、

 
  
  
つまり、

 

となります。




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