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zoom RSS フォノンについて(2)の再掲

<<   作成日時 : 2017/08/21 00:01   >>

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フォノンについて(2)」の数式部分を書き直し、要約して再掲したいと思います。

前記事の続きですが、1次元調和振動子のハミルトニアンの単なる和の形になっているから、全体の波動関数はこれら 個の1次元調和振動子の積として表わされ、エネルギー固有値は 個の1次元調和振動子の和になります。

少し分かり難い文章ですね。簡単な例を考えてみましょう。

 

として、 という場合を考えると、

 
  

ということで、エネルギー固有値の和となることが分ります。

話を戻すと、各1次元調和振動子の量子状態は、量子数で指定されます。
に対する振動量子数を で表わすことにすると、全系の定常状態 個の の一組

 

で指定され、そのエネルギー固有値は

 
  
    

で与えられます。

このような考えから、粒子系の運動を標準振動の重ね合わせで表わし、各標準振動は1次元調和振動子と同等とします。
つまり、古典力学では振幅と位相を与えるのに対応して、量子論では振動量子数を指定すれば、全系の状態が定まるというのですね。

ここでは1次元の鎖の縦振動だけを扱いましたが、鎖に垂直な方向(変位の 成分)を考えても、弾性定数が異なるので が違う点を除けば、全く同様な扱いが可能です。

さらに、2次元、3次元にも考えを拡張することができます。
固体の結晶の中で原子が規則正しく配列していることを結晶格子をつくっているといいますが、原子自体はその釣り合い位置の付近で複雑な運動を行なっています。複雑なんですが、この運動を、格子の標準振動の重ね合わせとして表わすことは、運動範囲を狭い範囲に限ると常に可能となります。

系のハミルトニアンは (原子数)×3-6 の1次元調和振動子のハミルトニアンの和で表わされます。

6 を引いたのは、系全体としての並進運動と回転運動を表わす を除外するためとのことです。

このとき系の量子状態はこれらの振動子の量子数の組で(A)式のように指定され、エネルギーの固有値は(B)式と同様な式で与えられます。
3次元のときは もベクトル になり、同じ に対して縦波1種と横波2種となります。
原子が全部同じ種類ではなく化合物の場合には事情はさらに複雑になりますが、1次元調和振動子の集まりと同等であることに変わりはないとのことです。

今日はこの辺で。。
 

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