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zoom RSS フォノンについて(1)の再掲

<<   作成日時 : 2017/08/17 00:01   >>

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フォノンについて(1)」の数式部分を書き直し、要約して再掲したいと思います。

古典的スカラー場(7)」 の結果から、ハミルトニアン(エネルギー)は

 

となります。
これに、次の変換をしてみます。

 

そうすると、

 

となりますね。
「量子論」(小出昭一郎著、裳華房)ではこの表現になっています。
これは変数変換(実際はフーリエ級数展開)を複素数表現ではなく、三角関数表現で行なっているからで、本質は変わりません。
例えて言うと、 という線形微分方程式において、特性方程式 から

 

となりますが、これを

 
  

と表現したものと同じようなものです。
これは、 の対が一つの単振動を表わしていることも意味します。 

さて、ここで一挙に量子化してみましょう。

 

という置き換えを行なえば、量子力学的ハミルトニアンとして

 

という形を得ることになります。これは

 

という形の1次元調和振動子のハミルトニアンの単なる和の形になっていることが分かります。
今日はこの辺で。。

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