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zoom RSS ハイゼンベルグ表示の調和振動子(2)

<<   作成日時 : 2017/08/15 00:01   >>

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ではエネルギー固有値問題と考えて考えていきたいと思います。

具体的には で、ハミルトニアンを眺めると、 の2乗と の2乗の和になっているので、複素数の絶対値の2乗とも考えられます。

を実数として、 というものを考えます。
よって

 
  

なので、

 

この左辺をハミルトニアン とすると

 

なので、

 
 

ですが、 と表現したほうが後々便利なので、

 
 

ということになります。
ここから、

 
  
 
  

なので、 という交換関係が成立することが分かります。

ここはちょっと天下り的ですが、

  状態 を状態 に変化させる演算子 (生成演算子) 
   状態 を状態 に変化させる演算子 (消滅演算子)

とします。

まず、最低の という状態をつくり、 とします。ここで、

 

と定義すると、

( の場合)

 
  

つまり、 で、つじつまが合っています。

( の場合)

  
   

( の場合)

 
  
    

このように帰納的に が言えるでしょう。
そうすると、

 

つまり なので、

 

となり

 

が成立します。したがってエネルギー固有値については

 

となることになります。

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