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zoom RSS 場の量子論のやり直し(9)_古典場の理論(Lorentz Invariance )

<<   作成日時 : 2017/07/18 00:01   >>

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pdf Quantum Field Theory の "1.2 Lorentz Invariance" に入っていきます。
ここは重要なので、少しゆっくり考えていきたいと思います。

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1.2 ローレンツ不変量

自然法則は相対論的であり、量子論を発展させる主な動機の1つは、量子力学を特殊相対性理と調和させることである。
この目的のために、私たちは、空間と時間が等しい立場に置かれた場理論を構築したいと考えており、理論は下に示すローレンツ変換のもとで不変であると考える。

 

ここで、 は次の関係を満たす。

 

例えば、x3 軸の周りの角度θの回転、および x1軸に沿った v < 1 によるブースト はそれぞれ  ローレンツ変換によって記述される。ここで

 

ローレンツ変換は、行列乗算の下で Lie 群を形成する。 これについては「対称性と粒子物理学」コースで学ぶことになる。
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ここまでで、ちょっと検算です。

 
  

 
  

これを見ると、(1.24) 式左辺の初めのΛとその後のΛは転置行列になっているような気がしますが、それで良いか?

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ローレンツ変換は、場における表現を持っている。 最も単純な例は、スカラー場でローレンツ変換 の下で次のような変換を行うことである。

   

場が本当にシフトされているアクティブな変換を扱っているので、逆行列の が引数に現れる。なぜ逆行列が現れるのかを知るためには、温度場のような非相対論的な例を考えることで十分である。例えばホットスポットが の位置にある初期場 から始めるとしよう。z 軸の周りの回転 の後、新しい場 にホットスポットを持つとする。古い場 に関して を表現したい場合、 において、古い場がどのように見えるかを を使って調べる必要がある。この は逆変換の起点である。(座標の選択で再ラベル付けを行う受動的な変換を扱うならば、 となるであろう。)

ローレンツ不変理論の定義は、 が運動方程式を満たすと、 も運動方程式を満たすということである。
この特性は、ローレンツ不変量であることを要求することによって、この特性が保持されることを保証することができる。 例を見てみよう:
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ちょっと分かり難いです。。この後の例を見ると理解できるということなのか?
このまま進めてみます。

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