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zoom RSS 完全性?不完全性?

<<   作成日時 : 2017/05/25 00:01   >>

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「別冊宝島EX 現代数学で遊ぶ本」という本が出てきたので眺めていたら、ゲーデル関係の話題が出ていました。具体的には『「ゲーデルの不完全性定理」はメタメタ超難し理論か の巻』です。
この中に「ゲーデルの完全性定理」と「ゲーデルの不完全性定理」が書いてあったので、備忘録として引用しておきます。

「ゲーデルの完全性定理」==================================
述語論理の恒真論理式は、論理の公理だけで証明可能である。
この定理は述語論理の完全性を示すことによって、同時に「正しい/正しくない」というセマンティクス(意味論)と「証明できる/できない」という形式的体系のシンタックス(構文論)をつなぐものになっている。
=================================================
 
「ゲーデルの不完全性定理」================================
自然数論を含むような理論を形式的して得られる、無矛盾な形式的体系は不完全である。
形式的体系が「完全」とは、任意の閉論理式 P について P か 〜P かのいずれかが必ず証明可能なことを言う。
=================================================
 
ここで完全性の意味が「ゲーデルの完全性定理」と「ゲーデルの不完全性定理」では違うようですね。
論理そのものと、ある数学理論という適用範囲が異なるということらしいです。

この「ゲーデルの不完全性定理」から次の結果が導き出されるとのことです。

「第二不完全性定理」======================================
自然数論を含む理論の無矛盾な形式的体系では、その体系内で形式化できる論法だけによっては、その体系自身の無矛盾性は証明できない。
形式的体系の無矛盾性はその体系の中では証明できないというわけだ。
だから、たとえば自然数論の無矛盾性を証明しようとしたら、どうしても自然数論の範囲を超える論法が必要になってしまう。
その意味で、ヒルベルトの計画を文字通りの忠実な方法では実現できないことが、明らかになった。
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