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zoom RSS ディド女王の問題 Queen Dido’s Problem

<<   作成日時 : 2017/05/23 00:01   >>

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変分法の資料を見て(読んでじゃなくて)いたら最初の行に標題の "Queen Dido’s Problem" というのが出てきました。知らないのでちょっと調べてみました。

まず The problem of Dido の HISTORY の引用してみます。
[引用]===================================
Dido was the legendary founder of Carthage (Tunisia). When she arrived in 814 BC on the coast of Tunisia, she asked for a piece of land. Her request was satisfied provided that the land could be encompassed by an ox-hide. With a remarkable mathematical intuition, she cut the ox-hide into a long thin strip and used it to encircle the land. This land became Carthage and Dido became the Queen.
[訳]==============================-======
ディドはカルタゴ(チュニジア)の伝説の創始者であった。 チュニジアの海岸へ紀元前814年に到着したとき、彼女は土地を求めた。 その土地が一頭の牛の皮に包まれていれば、彼女の要求は満たされた。 驚くべき数学的な直感で、彼女は牛の皮を細長い帯に切り、それを使って土地を包囲した。 この土地はカルタゴとなり、ディドは女王となった。
========================================= 
Google翻訳を使って訳し、意味が通るように少し手を加えました。

大体解ったのですが、いきさつに分からないとところがあり、さらに wikipedia の記述を見ると
[引用]===================================
フェニキアの都市国家テュロスの国王の娘で幼名はエリッサ(Elissa)といった。父の弟でメルカルトの神官をしていたシュカイオスと結ばれて同じく巫女として仕えていた。父の死去の際、彼女と兄のピュグマリオーンが共同で国を治める様に遺言された。ところが、兄は王位の独占と叔父の財産目当てに遺言に違えてシュカイオスを暗殺し、ディードーの命をも狙った。そこで彼女は全てを捨てて心ある家臣たちとともに航海に出たのである。
ディードーの一行は途中キプロス島で豊饒の女神アスタルテーに仕える神官と神殿に献上される予定であった乙女達を受け入れながら旅を続け、現在の北アフリカ・チュニジアの地に辿り着いた。そこで彼女はこの地の王であるイアルバースに土地の分与を申し入れた。イアルバースは1頭の牝牛の皮が覆えるだけの土地であれば分与しても良いと応えた。そこで彼女は牝牛1頭分の皮を細かく引き裂いてビュルサの丘の土地を取り囲み、砦を築くだけの土地を得た。この地が後のカルタゴとなった。
古代ギリシアの歴史家ティーマイオスによれば、これを見たイアルバースは彼女の才能に惚れて求婚した。だが、亡き夫の死の際に決して再婚しないと誓っていた彼女はこれを拒んで火葬の炎の中に飛び込んで自らの命を絶ったという。
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ここでは「牝牛」ですが、The problem of Dido では "ox" で雄牛で少し違っています。しかし、これは本質的な問題ではないでしょう。

まとめると、このお話の主要な部分は
=========================================
チュニジアの海岸へ紀元前814年に到着したとき、ディドはこの地の王であるイアルバースに土地の分与を申し入れた。イアルバースは1頭の牛の皮が覆えるだけの土地であれば分与しても良いと応えた。そこで彼女は驚くべき数学的な直感で、牛1頭分の皮を細長い帯に切り、ビュルサの丘の土地を取り囲み、砦を築くだけの土地を得た。この土地はカルタゴとなり、ディドは女王となった。
=========================================
ということになります。

数学的には 等周問題Isoperimetric Problem ということで、〈周の長さが与えられた平面図形の中で最大の面積をもつものを求めよ〉などで、この場合は「円」になるだろうと直観では思えますが、 The problem of Dido の PROBLEM を少し読んでみましょう。

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与えられた周囲長で最大面積を持つ閉曲線とは何だろうか?
画像

曲線は位置 と速度 で記述することができるが、まず 曲線の長さと囲まれた面積を計算する必要がある。
長さは、曲線に沿った線素 の積分によって得られ、 線素は極少なピタゴラス式 または として直感的に計算できる。
 
この領域の面積を計算するには、直感的ではないが、Greenの定理を使うと簡単である。
  [Greenの定理]---------------------------------
  境界 を有する平面内の領域 において、次の関係が成立する。
   
  ----------------------------------------------
によって を得る。したがって囲まれた領域の面積は次のエレガントな公式によって得られる。
 
さて、この問題は制約を伴う最適化問題として述べることができることになる。:
  という条件の制約を受ける を最大にする閉曲線を求める
=========================================

ということで、今回は問題をあげるだけにして、解法は別記事にする予定です。
今日はこの辺で。。

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