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zoom RSS 測地線方程式の導出のおさらい

<<   作成日時 : 2017/05/12 00:01   >>

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ちょっとおさらいを備忘録として書いておきます。

いろいろと議論はあると思いますが、ラグランジアンを
 
とすると、オイラーラグランジェ方程式は
 
なので、左辺の( )の中を計算すると
 
で、縮約を考えれば最右辺の第1項と第2項は同じものなので、足して2倍にすれば良いのですが、後のことを考えてこのままで考えます。よって
 
  
いっぽう、オイラーラグランジェ方程式の右辺は
  
なので、全体を2で割って移項すると、
 
となります。ここで式全体に を掛けて和をとると
 
となりました。
クリストッフェルの記号
 
を使うと
 
という測地線方程式が導出できました。

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