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zoom RSS べき乗和の公式の問題

<<   作成日時 : 2017/04/09 00:01   >>

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「べき乗和の公式」というのは前にもやったことがありました。さて、数学問題として2乗の場合の公式の導出を説明させるものがあります。改めて考えてみるとすぐには出来ませんでした。ここで、ゆっくり考えてみたいと思いました。



というのは導出という程のものではなく、常識というレベルでしょうね。



というのは、どうでしょう?
これは、ガウスの小学校時代の逸話で
「ある時、1から100までの数字すべてを足すように課題を出された。それを彼は、1 + 100 = 101、2 + 99 = 101、…、50 + 51 = 101 となるので答えは 101×50 = 5050 だ、と即座に解答して教師を驚かせた」
というのと同じ考えで説明できるでしょう。
簡単にいうと、nから1づつ減らしていっても良いので、



と考えても良いわけですね。k 番目の項は n-(k-1)=n-k+1 なので、

 

となるため、



から、



となります。
ここで問題です。

[問題]==========
 を使って、 を n を使って表す式を導出せよ。
=================




なので、S1 を求めた方法は使えるのでしょうか?



から、k 番目の項は (n-k+1)2=(n+1)2-2k(n+1)+k2 なので、





とトートロジーになってしまい、この方法ではダメなんでしょう。。


ベルヌイ数を使ったりしないで、高校数学レベルでは普通次のような説明をするようです。



という公式を思い出して計算すると、



という関係が得られます。
この両辺のΣをとると、



となります。

左辺:





右辺:



よって、





から、



となるようですが、もう少し違った方法はないのかな?

とりあえず、答えが求まったので、ここで少し脱線して積分とのアナロジーを考えてみます。
つまり、



というのと、



が対応すると考えます。
ということは、F(k) の微分というか差分をとると、f(k) が再現されるはずですね。これをやってみましょう。









となり、分かっていたことですが、ちょっと面白いです。


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