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zoom RSS ゲーデル数とか(2)

<<   作成日時 : 2017/04/05 00:01   >>

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前記事で定義したゲーデル数を使って、「式のゲーデル数」を計算する方法を確認します。
この方法により、ユニークな式に対してユニークなゲーデル数が1対1で対応することになるのですが、本当でしょうか?

例として ' ' を検討します。
これは「y の後続者であるような x が存在する」という意味になります。

この式は定項と数詞変項によって構成されているので、そのゲーデル数を当てはめてみます。
画像


この式に一つの数値に対応させるために次のような操作をします。
まず、ここには10個の数があるので、初めから10個の素数を対応させます。
画像

ここから

 

という大変大きな数が計算されるでしょう。
素因数分解の一意性から、この数 は一意となることは明白です。つまり、 ' ' と は1対1で対応することになります。

 

この をこの式のゲーデル数とします。

さらに、前記事にあったように、' ' のような式(の一部)はドモルガンの定理を使って ' ' と変形すればゲーデル数を計算することができます。つまり、本来は ' ' であるものの略記が ' ' であると考えるのです。
また、これは前記事でも書きましたが、' ' は ' ' 、' ' は ' ' 、' ' は ' ' 、、等の略記と考えると、任意の式のゲーデル数は一意に計算できるということになるでしょう。
まあ、ひょっとしたら論理に何かの穴があるかも知れませんが、、、

今日はこの辺で。。

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