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zoom RSS 「式 G は証明不可能」であるという超数学的言明を表す算術式 G

<<   作成日時 : 2017/04/21 00:01   >>

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問題の本質に近づいていきます。標題の内容を表す G の構成方法について述べます。

[引用:ゲーデルは何を証明したか(p118)]---------------------------------------------------------
式 ' ' については、すでにのべました。
これは、形式化された算術のなかで、' ゲーデル数 をもつ式系列は、ゲーデル数 をもつ式の証明ではない ' という超数学的言明を表わしています。
ここで、接頭詞 ' ' を ' ' 式に導入します。 
この接頭詞は、ふつうのことばのなかで、' おのおのの について ' という句が果たしているのと同じ機能を、形式体系のなかで果たしています。
上の式にこの接頭詞をつけると、新しい式 ' ’が得られます。
これは ' おのおのの について、ゲーデル数 をもつ式系列は ゲーデル数 をもつ式の証明ではない ' という超数学的言明を表わします。したがって、この新しい式は、' ゲーデル数 をもつ式は証明不可能である ' あるいは ' ゲーデル数 をもつ式の証明を示すことはできない ' という超数学的言明を、計算体系のなかで形式的にパラフレーズしたものです(厳密にいえば、超数学的言明の一意的な表示です)。  
------------------------------------------------------------------------------------------------------

というわけで (1) 式を

 

とします。

画像


は具体的には数で、命名関数であり真偽はないということを前記事で説明しました。
しかし、ゲーデル数ということは、それに対応する命題算術式があり、その算術式には真偽があるということが注意すべきところだと私は考えます。(そこがこの議論に関する私の違和感で、他人に説明するときに詰まってしまう点です。。)

さて、(1) 式は算術式なので、ゲーデル数が計算できて、ここでは とします。そうすると、次の (G) 式が考えられます。

 

この式を見ると、(1) 式(ゲーデル数 )のなかの変項 (ゲーデル数 )に を代入したものです。

つまり、 (G) 式のゲーデル数は ということになります。
この関係を図示すると次のようになります。
画像


つまり式 (G)は 「自分自身を証明できない」といっています

今日はこの辺で。。

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