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zoom RSS 超数学的言明とゲーデル数(1)

<<   作成日時 : 2017/04/10 00:01   >>

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ゲーデル数自体はそんなに難しくないでしょう。例を示しておさらいすることにします。

まず簡単な例として ' ' というトートロジーを考えましょう。

画像


つまり、 ' ' という命題計算は という整数(ゲーデル数)と1対1に対応しているということです。
これを図式的に描くと次のようになりますね。
画像


次にこの命題の前半部分である ' ' のゲーデル数を計算すると
 
です。図に加えると
画像

となります。


さて、ここで

 「式  ' ' は ' ' という公理の前半である
 
という超数学的言明を考えてみましょう。ここから分かることは

 「小さな式 ' ' が公理である大きな式の最初の部分であるのは、明らかに、前者を表すゲーデル数 が、後者を表すゲーデル数 の因数であるとき、そのときに限られる

ということです( )。
ここで

 「因数である

という表現が形式化された算術体系のなかで適当に定義されていると仮定すれば、上の超数学的言明に対応する算術式は

 ' の因数である '

ということになります。
よって、

 「 の因数である」がならば、「式  ' ' は ' ' という公理の前半である」も

です。

今日はこの辺で。。

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