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zoom RSS 光の湾曲のおさらい(1)

<<   作成日時 : 2017/03/16 00:01   >>

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例のエディントンの観測で求められた日食の際の光の曲がりについておさらいしたいと思います。
まずスラっと書いてある「時空の力学」(細谷暁夫、岩波書店)を参考にしたいと思います。

まずシュバルツシルト計量を東海岸方式で書いておきましょう。

 

ただし

 

ですが、問題の性質を考えると、平面に限って良いので つまり として良いでしょう。 
つまり

 

 

を考えることにします。
ここで、この時空内で動く粒子の作用は

 

なので、ドット(.)を d/dτ とすると

  

となります。
は時間 と方位角 を露わに含まないのので、その共役運動量であるエネルギー と角運動量 は次のようになります。

 

(Eはマイナスにならないように符号を調整しているのかな?。。)  
ここから、

 

ということになります。 
一方、

 
    

から

 
  
  

となり

 

が粒子の運動を示す方程式になります。
さて、ここでは「光の軌跡」なので、ナル条件 ds2=0 を考えます。つまり、

 

ここから始めます。

 
  

で、光の軌跡 を求めます。

 

から

 
  
 
ここで、

 
 

とすると、上の方程式は

 

であり、一般相対論的効果を右辺に移項すると、最終的に

 

となり、これを解いていくことになりますが、今日はこの辺で。。

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