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zoom RSS 「ゲーデルは何を証明したか」からヒルベルト関連を抜書き

<<   作成日時 : 2017/01/08 00:01   >>

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ゲーデルは何を証明したか―数学から超数学へ」という本を読んでいます。
いわゆる啓蒙本なんですが、今回はノートにまとめながら少しづつ読むことにしました。未だ読了していませんが、少し間が空いてきたので、ノートを読み直しています。

そこで気になったのはヒルベルトの考え、具体的には有限主義なのですが、どうも感覚的に分からないですね。
ちょっと、ノートからヒルベルト関連を抜書きして眺めてみたいと思います。

[ヒルベルトの望み]---------------------------------------------------------

 デカルト座標: ユークリッドの公理 →(変換)→ 代数学上の真理

   点 → 一対の数
   直線 → 二つの未知数を含む一次関数
   円 → ある形をした二次方程式

 この方法は「無矛盾性」を他の領域へ移されたにすぎない

 ヒルベルトの議論:代数学が無矛盾なら幾何学も無矛盾 ・・・ 相対的な証明 

 公理の解釈が無限個の要素からなるモデルを通じて行われる
   →有限個の観察によって、モデルをくまなく調べることが不可
   →常に公理の真理性はたえず疑惑にさらさられる

 数学の主要な分野の基礎をなしている仮定の多くは有限なモデルで写しとることが不可

----------------------------------------------------------------------------

これはこの通りなので、ここから直ぐに「有限主義」が出てくるとは思えません。

[無意味な数学]--------------------------------------------------------------

 ヒルベルト : 他の体系の無矛盾に頼らなくても済むような「絶対的証明」を求めた
   (この「絶対的証明」)を構成する第一歩は演繹的体系の「完全な形式化」→計算

 完全に記号化された体系と仮定と定理 ⇒ 無意味な記号の String

 前提から定理を導くこと
   ⇒ ある String →(規則に従って変換) → 他の String  

 これらの String 列への言明
   → "数学について"語る言語 → 『超数学』
   
----------------------------------------------------------------------------

ここでは文字列(String)を変換していくことが(定理の)証明になることと、"数学について"語る『超数学』 について述べているようです。

[無矛盾の絶対的証明]-------------------------------------------------------

ヒルベルトは

 完全に形式化された計算の中の表現について、その有限個の構造的特徴を分析することによって、一組の前提の無矛盾性に対して、有限なモデルを使用した場合と同じ程度に論理的に疑念のない証明を与える方法を展開しようと努めた。
 すべての数学的計算を、式どうしが有限個の構造的な関係を保つような、一種の"幾何学的"な式のパターンを示すことは可能と信じていた

ヒルベルトの最初の考え:

 無矛盾の証明は式の無限個の構造的性質あるいは、無限個の操作に触れずに済むような手続きしか含めてはならない。
  ⇒ "有限主義" このような証明を"絶対的証明"という

絶対的証明:他の公理系の無矛盾性を前提にしない最小限の推論原理でその目的を果たす
  その証明は、明示された推論規則にしたがう限り、公理から矛盾しあう二つ式は導けないことを示すだろう
----------------------------------------------------------------------------

ここで「有限主義」が明示的に出てきました。
現時点でのノートを読んだ限りではこの後にヒルベルトは出てきてないです(未だ読んでいない個所にでてくる可能性はあります)。

「有限主義」の言いたいことは分かる気がするんですが、具体的にはどういうことなのか?
ゲーデルによって否定されたにしても、もう少し分かり易い表現はないのでしょうか?

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